Всего: 60 1–20 | 21–40 | 41–60
Добавить в вариант
Функция f (x), определённая при всех действительных x, является чётной. Кроме того, при любом действительном x выполняется равенство
а) Приведите пример такой функции, отличной от константы.
б) Докажите, что любая такая функция является периодической.
а) Например 
Чётность очевидна, проверим второе условие:
т. к. 
б) Из чётности получаем 
т. е.
при любом x. Подставив сюда x + 10 и x + 20 вместо x, получим
Вычитая из второго первое, получаем 
при любом x, т. е. функция периодична с периодом 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Пункт а): верный пример с проверкой всех условий и полное решение пункта б). | 6 |
| Пример функции без проверки и полное решение пункта б). | 5 |
| Полное решение пункта б) ИЛИ пример функции с проверкой и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ пример функции с проверкой и решение пункта б) с пропущенным шагом. | 4 |
| Правильный пример функции без проверки и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ правильный пример функции без проверки и решение пункта б) с пропущенным шагом. | 3 |
| Правильный пример функции с проверкой выполнения всех условий. | 2 |
| Правильный пример функции без проверки выполнения условий. Допускается пример в виде графика, если в решении дано исчерпывающее и подробное описание графика с указанием всех ключевых точек. | 1 |
| Любое решение, не соответствующее ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 6 |
Функция f (x), определённая при всех действительных x, является чётной. Кроме того, при любом действительном x выполняется равенство
а) Приведите пример такой функции, отличной от константы.
б) Докажите, что любая такая функция является периодической.
а) Например Чётность очевидна, проверим второе условие:
т. к.
б) Из чётности получаем т. е.
при любом x. Подставив сюда x + 10 и x + 20 вместо x, получим
Вычитая из второго первое, получаем при любом x, т. е. функция периодична с периодом 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Пункт а): верный пример с проверкой всех условий и полное решение пункта б). | 6 |
| Пример функции без проверки и полное решение пункта б). | 5 |
| Полное решение пункта б) ИЛИ пример функции с проверкой и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ пример функции с проверкой и решение пункта б) с пропущенным шагом. | 4 |
| Правильный пример функции без проверки и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ правильный пример функции без проверки и решение пункта б) с пропущенным шагом. | 3 |
| Правильный пример функции с проверкой выполнения всех условий. | 2 |
| Правильный пример функции без проверки выполнения условий. Допускается пример в виде графика, если в решении дано исчерпывающее и подробное описание графика с указанием всех ключевых точек. | 1 |
| Любое решение, не соответствующее ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 6 |
Найти все множества из четырёх действительных чисел таких, что каждое число в сумме с произведением трёх остальных равно 2.
Обозначим числа искомой четвёрки за a, b, c, d. По условию, 
из первого равенства имеем 
причём, если 
и из второго равенства 
Следовательно, для любой пары чисел из нашей либо эти числа равны, либо их сумма равна 2 и произведение оставшейся пары чисел равно 1. В частности, среди чисел нашей четвёрки содержится максимум два различных числа.
1) Все четыре числа равны между собой, тогда 
Ввиду монотонности функции 
являющейся суммой двух монотонно возрастающих функций 
и 
решение будет единственно: 
Получаем первую искомую четвёрку 
2) Часть чисел (не менее двух) равна a, остальные (не менее одного) равны 
Если чисел, равных a, ровно два, то 
откуда 
и мы имеем на самом деле случай 1). Если чисел, равных a, ровно три, то 
и, либо и мы опять получаем случай 1), либо 
и мы получаем новую искомую четвёрку 
Добавляя решения, получающиеся перестановками переменных, получим три новых четвёрки.
Ответ: 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Разобран с доказательством только случай, когда все числа равны. | 2 |
| Потеря случая равных чисел. | 5 |
| Потеря симметричных решений. | 6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
и Определить, при каких целых значениях x функция 
принимает наименьшее целое значение.
Запишем функцию f(x) в следующем виде:
Следовательно, для целых х значение f(x) будет целым в том и только том случае, когда x − 4 является одним из делителей числа 10, то есть принимает значения ±1, ±2, ±5, ±10. Вычисляя значения функции f(x), находим, что наименьшее целое значение −13 функция f(x) принимает при целых x = − 6 или x = 5.
Ответ: 
За обоснованное решение — 7 баллов, если получено, что наименьшее значение функции достигается только в одной точке при обоснованном решении — 4 балла.
Пусть f(t) — некоторая функция, такая что 
при 
Найдите 
если 
По условию при 
Пусть 
тогда 
Пусть 
и 
тогда
Итак, 
Ответ: −1.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов.
Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов.
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 3 балла.
Найдите все пары чисел (a, b), при которых функция
постоянна во всей области ее определения.
Отметим сначала, что при 
функция 
не определена ни для одного значения x. Если 
то получаем 
и не является постоянной, значит, 
Пусть теперь при всех x из области определения 
функции 
то есть при всех 
выполняется равенство 
Тогда, учитывая представление получим
или
при всех 
А это возможно тогда и только тогда, когда выполнятся следующая система уравнений:
Откуда получаем 
и затем 
Если 
то и чего быть не может, как отмечалось выше, следовательно,
где 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все пары чисел (a, b), при которых функция
постоянна во всей области ее определения.
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 644.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Исследуйте, сколько корней, в зависимости от действительного параметра a, имеет уравнение 
Нарисуем график функции f. Поскольку уравнение 
задает на плоскости окружность 
а 
и f — четная функция, то график f состоит из двух полуокружностей, как это изображено на рисунке. Теперь ответы на вопросы очевидны.
Ответ: а) 
б) 
в) Три решения при четыре — при 
и два, если 
В остальных случаях решений нет.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) Три решения при четыре — при и два, если В остальных случаях решений нет.Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите число решений уравнения 
лежащих на отрезке 
в зависимости от действительного параметра a.
в) Найдите множество значений функции f.
а) Перепишем уравнение в виде 
и обозначим 
Получим 
или 
получим 
или 
Вернёмся к замене переменной
б) Найдите число решений уравнения лежащих на отрезке в зависимости от действительного параметра a.
Перепишем уравнение в виде 
и обозначим Ясно, что при 
получим 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x и наоборот. Значит, нужно исследовать вопрос о количестве решений уравнения
на отрезке 
Построим график функции 
Это будет парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной при
причем 
Далее, 
Проводя горизонтальную прямую 
и изучая количество общих точек этой прямой и параболы при получаем ответ.
в) Найдите множество значений функции f.
Ясно, что 
принимает все значения из промежутка 
и только их. Если разрешить 
то наибольшее значение функции 
по-прежнему будет при 
а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть либо 
либо 
Поэтому ответ 
Ответ:
а) 
б) решений нет при 
и 
одно решение при 
два решения при 
в) 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а)
б) решений нет при и одно решение при два решения при
в)
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество всех точек плоскости, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на 
в) Найдите все такие a, при которых функция 
нечетная.
г) Найдите все такие b, что при любом a уравнение 
имеет решение.
а) Перепишем уравнение в виде 
и преобразуем при условии 
Ответ: 
б) Точка с координатами
является серединой отрезка, концы которого лежат на кривой 
тогда и только тогда, когда найдутся такие числа a и b, что
Исключая очевидное решение 
приходим к уравнению 
которое разрешимо при 
Пункт 1б) не обнаружен в файле. Решения нет.
Ответ: на рисунке.
в) При 
получаем 
Но если нечетная функция определена при 
то 
поэтому либо 
либо 
Итак, остается проверить 
и 
При получим
что определено при 
и не определено при 
поэтому функция не будет нечетной.
При 
получим
и 
при всех x. Решим
что верно. Осталось еще объяснить, что и 
определены при одних и тех же x. Ясно, что при всех 
а при 
Поскольку произведение этих выражений всегда положительно, то на самом деле оба они всегда одного знака, то есть оба положительны. Значит, логарифмы определены.
Ответ: 
г) Изобразим график 
(см. рис.). Прямые 
проходят через точку 
на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график 
Очевидно при 
можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при 
точка 
лежит на графике, а при 
прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
на рисунке.
г) Изобразим график (см. рис.). Прямые проходят через точку на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график Очевидно при можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при точка лежит на графике, а при прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Функция f задана, непрерывна и 
при всех 
а) Докажите, что интеграл 
не зависит от t. Предположим дополнительно, что функция f положительна. Пусть
б) Докажите, что 
в) Найдите все действительные 
при которых 
а) Имеем:
Далее,
б) Имеем:
в) Покажем вначале, что неравенство справедливо при 
где n — натуральное число. Имеем сумму:
сделав в каждом из интегралов замену 
получим
поскольку 
Если 
то можно поступить аналогично применительно к интегралу
Докажем теперь, что неравенство справедливо при всех 
Для этого достаточно показать, что функция 
определенная формулой 
непрерывна на 
Пусть 
Поскольку f непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна, значит, для любого 
найдется такое 
что для любых 
таких, что 
верно неравенство 
откуда следует оценка
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых функция g периодична.
а) Один корень, если 
или 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследуйте функцию 
в) Преобразуйте данное тождество к виду
г) Все нечетные n.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Известно, что 
Найдите область значений функции 
Пусть 
Если то 
Вместе с условием задачи получаем, что 
при 
Теперь
Если 
то
Если 
то
Итак, если то 
Заметим, что обе границы достигаются. Нижняя — при 
верхняя — при таком x, при котором 
Он находится из уравнения 
и равен 
Пусть теперь 
Функции 
и нечетны, поэтому, если 
то 
и 
Для всех 
из неравенства 
следует, что
Это означает, что функция не ограничен а снизу, т. е. любое отрицательное число, меньшее −2, принадлежит области ее значений.
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Про функцию y = f (x) известно, что она определена и непрерывно на всей числовой прямой, нечетна и периодична с периодом 5, а также, что f (−1) = f (2) = −1. Какое наименьшее число корней может иметь уравнение f (x) = 0 на отрезке [1755; 2017]?
Поскольку функция f нечётна и определена в нуле, получаем
В силу 5-периодичности тогда имеем 
Используем ещё раз нечётность: 
и опять в силу 
и 
Итак, в точках 1, 2, 3 и 4 значения функции равны соответственно 1, −1, 1 
у функции не менее 4 нулей (ясно, что эта оценка достижима: можно взять, например, кусочно-линейную функцию, у неё будет ровно 4 нуля). На промежутке [1755; 2015) период помещается 52 раза (на нём не менее 
нулей), плюс нуль в точке 2015 и хотя бы один на интервале (2016; 2017). Итого не менее 210 нулей.
Ответ: 210.
Непостоянная функция f(x) для всех действительных значений x удовлетворяет равенству
Докажите, что f(x) периодична и приведите пример такой функции.
Преобразуем исходное выражение:
Откуда
при всех 
Тогда 
Функция
Докажите неравенство 
для всех α.
Запишем левую часть неравенства как сумму кубов и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла:
Откуда
Другой способ доказательства основан на исследовании левой части неравенства как функции от α, при этом достаточно, в силу симметрии и периодичности, рассмотреть лишь промежуток от 0 до 
Минимум этой функции достигается при 
и 
Каждая из четырёх задач данной олимпиады оценивается, исходя из максимума в 25 баллов. Таким образом, максимальный результат участника может быть 100 баллов. Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
| Символы-баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +25 | Полное верное решение |
| +20 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
| ±16 | Решение в целом верное, но содержит мелкие ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений. |
| +/2 13 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основанная оценка. |
| ±10 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. |
| −5 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения. |
| 0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал). |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 13 баллов. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком-стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ 
будет соответствовать 17 баллам.
Существует ли такая непериодическая функция f, определённая на всей числовой прямой, что при любом x выполнено равенство 
Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям, имеет период 3. Действительно, из уравнения следует, что f не принимает значения 1. В самом деле, если 
то 
что невозможно. Следовательно,
поэтому, применяя последовательно это равенство, получаем
Ответ: нет, не существует.
Натуральные числа a, b, c выбраны таким образом, что 
К тому же известно, что система уравнений 
и
имеет ровно одно решение. Найдите минимальное возможное значение c.
Функция
является кусочно-линейной функцией. Посмотрим на коэффициент при x на разных участках: если 
то 
если 
то 
если 
то 
если 
то 
Наш график 
имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).
Получаем
подставляем в первое уравнение и получаем
Следовательно, 
А так как 
то минимальное возможное значение c будет 1010.
Ответ: 1010.
Натуральные числа a, b, c выбраны таким образом, что a < b < c. К тому же известно, что система уравнений 
и
имеет ровно одно решение. Найдите минимальное возможное значение c.
Функция
является кусочно-линейной функцией. Посмотрим на коэффициент при x на разных участках: если то если то если то если то
Наш график 
имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).
Получаем
подставляем в первое уравнение и получаем
Следовательно, 
А так как то минимальное возможное значение c будет 1012.
Ответ: 1012.
Натуральные числа a, b, c выбраны таким образом, что К тому же известно, что система уравнений и
имеет ровно одно решение. Найдите минимальное возможное значение c.
Функция
является кусочно-линейной функцией. Посмотрим на коэффициент при x на разных участках: если то если то если то если то
Наш график имеет коэффициент при x равный −2. Получаем, что решение системы будет единственно только если это будет точка (a, f(a)).
Получаем
подставляем в первое уравнение и получаем Следовательно, А так как то минимальное возможное значение c будет 1012
Ответ: 1012.
Наверх