Всего: 5 1–5
Добавить в вариант
а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Для того, чтобы обеспечить себя в старости, Джон открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на 
а) См. рисунок
б) Возводя уравнение в квадрат, получим
Теперь нужно выбрать из этих ответов только те, для которых 
Например для 
нужно выбирать только четные k, 
аналогично и для 
нужно выбирать четные k.
в) Перепишем неравенство в виде 
Построим сначала график функции 
отразим его относительно вертикальной оси (получим график 
), сдвинем вправо на 
(получим график 
) и вниз на 
Теперь рассмотрим прямые, проходящие через начало координат и выясним, при каких x точка на прямой лежит выше соответствующей точки на графике или совпадает с ней. Пусть для начала a сильно отрицательное число. Тогда, очевидно, ответом будет 
Будем теперь увеличивать a. Ситуация будет меняться следующим образом. При некотором 
прямая пройдет через точку 
и к ответу добавится 
Затем прямая будет пересекать обе ветви графика и появится еще небольшой отрезок между точками пересечения. Затем при некотором 
прямая коснется левой ветви графика и ответом будут все x до точки пересечения с правой ветвью. Затем появится вторая точка пересечения с левой ветвью а ответом будут все x левее этой точки и все от 0 до точки пересечения с правой ветвью.
Это будет продолжаться, пока a не станет нулем и первый промежуток не пропадет. Затем a станет положительно. 
подходить уже не будут, зато появится вторая точка пересечения с правой ветвью и к ответу добавятся все точки правее этой точки пересечения.
Это будет продолжаться, пока прямая не станет касательной к правой ветви при некотором 
С этого момента будут подходить все 
Осталось найти все эти точки пересечения и определить конкретные значения 
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с левой ветвью, получим
Иногда этот корень будет посторонним, но нам это неважно, поскольку мы уже определили по рисунку ситуации, когда он будет на самом деле.
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с правой ветвью, тогда
Из этих двух корней иногда нужен только один — тогда это меньший корень, 
Второй соответствует пересечению с нижней ветвью параболы 
которая не относится к графику (на рисунке показана пунктиром) можно найти из уравнения 
откуда 
и равно угловому коэффициенту касательной к линии 
в точке 
то есть производной от данной функции в точке 
Решим
что при 
дает 
Наконец 
должно быть таким положительным числом, при котором склеиваются точки пересечения прямой с правой ветвью графика, откуда
Поскольку 
следует выбрать 
Теперь можно написать ответ.
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
г) На первые его 2 000 банк начислит проценты 26 раз, на вторые −25 и так далее, поэтому общий размер его вклада составит
Если вычесть из этой суммы 20000 долларов и потом начислить на остаток 
то вклад составит
и нужно сравнить это число с предыдущим остатком по вкладу. Докажем, что оно больше, тогда он сможет жить на проценты с вклада. Сравним
Заметим, что
поэтому
Знание 
не пригодилось. Чтобы его нормально использовать, нужно, кажется, тратить по 18 тысяч. Тогда надо будет доказывать, что 
что верно поскольку 
Ответ:
б) 
в) 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
где 
г) да, достаточно.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б)
в) при при при при при при где
г) да, достаточно.
При каком a уравнение имеет ровно два решения или больше трех решений?
Рассмотрим функцию 
Производная 
обращается в ноль при 
Максимум — в точке 
Далее, рассмотрим уравнение 
откуда
Вычислим значения y:
Обозначим 
Тогда
Ответ: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
не имеет решения.
Способ I. Рассмотрим функцию
Отсюда
отсюда 
и 
критические. При 
и
при
Сверху функция f не ограничена, она непрерывна, а наименьшее значение достигается в точке −3a: если 
то 
если же 
то 
Все значения функции должны быть положительны. Для этого необходимо и достаточно, чтобы 
Получаем следующее неравенство
Способ II. Рассмотрим функцию
Нам требуется найти все такие значения параметра a, что f(x) не обращается в нуль нигде на числовой оси.
Сразу заметим, что f(x) непрерывна на всей оси.
Обозначим и 
Сравним эти числа: 
тогда и только тогда когда 
т. е, 
1) Пусть 
то есть На интервале 
оба модуля раскрываются с минусом и f(x) — линейная функция с угловым коэффициентом −4, следовательно, убывает. На отрезке 
первый модуль раскрывается с минусом, второй — с плюсом, следовательно, f(x) — постоянная функция. На интервале 
функция f(x) — линейная с угловым коэффициентом 6, следовательно, возрастает. Из вышеуказанного следует, что для всех x функция 
Следовательно, для того, чтобы уравнение 
не имело решения, необходимо и достаточно, чтобы 
Имеем
Решением неравенства 
является множество 
Все оно содержится во множестве 
2) Пусть 
то есть 
Тогда на интервале 
оба модуля раскрываются с минусом и f(x) — линейная функция с угловым коэффициентом −4, следовательно, убывает. На отрезке 
первый модуль раскрывается с плюсом, второй — с минусом, следовательно, f(x) — линейная с угловым коэффициентом 4. На интервале 
функция f(x) — линейная с угловым коэффициент ом 6, следовательно, возpacraет на обоих этих промежутках. Тогда 
точка минимума функции и для того, чтобы уравнение не имело решения, необходимо и достаточно, чтобы 
В этом случае
Решением неравенства 
служит интервал (−4; 0). Он имеет пустое пересечение с множеством (0; 3), следовательно, в этом случае ни одно значение a не является решением задачи.
3) Пусть 
то есть 
Заметим, что в этом случае, аналогично случаю 2) точка 
есть точка минимума функции, и, опять же, 
должно быть положительно, что не выполняется при и 
Ответ: 
Найти минимальное и максимальное значения выражения 
где x, y принимают произвольные значения из интервала [0, 1].
Решение 1. Положим 
тогда 
Полученное выражение равно 0 при или 
или 
Следовательно, в области 
функция 
положительна ниже (или правее) прямой 
и тут достигается её максимум, и отрицательна — выше (или левее) этой прямой и тут достигается её минимум.
Решение 2. Считаем переменную у параметром, лежащим в интервале 
При каждом фиксированном 
квадратный трёхчлен 
принимает минимальное значение, равное 
при 
следовательно, минимальное значение всего выражения достигается при 
и равен 
Максимум же квадратного трёхчлена при каждом фиксированном на интервале 
достигается на его конце при 
(значение на другом конце равно 0), и равен 
Следовательно, максимум 
не превосходит максимума трёхчлена 
который достигается при 
из интервале и 
и равен 
Ответ: минимальное значение — 
максимальное значение — 
Доказана одна из оценок 
и 
—
максимальное значение — Найдите длину отрезка, являющегося множеством значений функции
где 
Разделим числитель на знаменатель:
Далее возьмем производную от этой функции, и после сокращения подобных получим:
Так как при 
выражение 
принимает только положительные значения, то его можно отбросить. Таким образом, получаем две критические точки: 
и 
Знаки на промежутках зависят от знака выражения 
а) 
б) 
Ответ: а) при 
длина отрезка равна 
б) при 
длина отрезка равна 
длина отрезка равна б) при длина отрезка равна Наверх