Всего: 11 1–11
Добавить в вариант
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
не имеет решения.
Способ I. Рассмотрим функцию
Отсюда
отсюда 
и 
критические. При 
и
при
Сверху функция f не ограничена, она непрерывна, а наименьшее значение достигается в точке −3a: если 
то 
если же 
то 
Все значения функции должны быть положительны. Для этого необходимо и достаточно, чтобы 
Получаем следующее неравенство
Способ II. Рассмотрим функцию
Нам требуется найти все такие значения параметра a, что f(x) не обращается в нуль нигде на числовой оси.
Сразу заметим, что f(x) непрерывна на всей оси.
Обозначим и 
Сравним эти числа: 
тогда и только тогда когда 
т. е, 
1) Пусть 
то есть На интервале 
оба модуля раскрываются с минусом и f(x) — линейная функция с угловым коэффициентом −4, следовательно, убывает. На отрезке 
первый модуль раскрывается с минусом, второй — с плюсом, следовательно, f(x) — постоянная функция. На интервале 
функция f(x) — линейная с угловым коэффициентом 6, следовательно, возрастает. Из вышеуказанного следует, что для всех x функция 
Следовательно, для того, чтобы уравнение 
не имело решения, необходимо и достаточно, чтобы 
Имеем
Решением неравенства 
является множество 
Все оно содержится во множестве 
2) Пусть 
то есть 
Тогда на интервале 
оба модуля раскрываются с минусом и f(x) — линейная функция с угловым коэффициентом −4, следовательно, убывает. На отрезке 
первый модуль раскрывается с плюсом, второй — с минусом, следовательно, f(x) — линейная с угловым коэффициентом 4. На интервале 
функция f(x) — линейная с угловым коэффициент ом 6, следовательно, возpacraет на обоих этих промежутках. Тогда 
точка минимума функции и для того, чтобы уравнение не имело решения, необходимо и достаточно, чтобы 
В этом случае
Решением неравенства 
служит интервал (−4; 0). Он имеет пустое пересечение с множеством (0; 3), следовательно, в этом случае ни одно значение a не является решением задачи.
3) Пусть 
то есть 
Заметим, что в этом случае, аналогично случаю 2) точка 
есть точка минимума функции, и, опять же, 
должно быть положительно, что не выполняется при 
и 
Ответ: 
Решите систему уравнений
Непосредственно проверяется, что числа
являются решением системы. Докажем, что решение единственно. Для этого покажем, что функция (x), заданная первым уравнением, строго монотонно убывает, а функция, заданная вторым уравнением, строго монотонно убывает. Действительно, производная первой функции равна
Вторая функция определена при 
и её производная имеет вид
Таким образом, система имеет единственное решение 
(При обосновании монотонности указанных функций можно и не использовать производную, а сослаться на соответствующие свойства показательной и логарифмической функций для конкретных оснований).
Ответ: 
Докажите, что для любого натурального числа 
и для любых действительных чисел a1, 
уравнение
имеет хотя бы один действительный корень.
Левая часть f(x) в этом уравнении представляет собой многочлен степени 
так как коэффициент при 
равен 
Если n четно, то получаем многочлен нечетной степени, он всегда имеет действительный корень, так как функция f(x) непрерывна и 
при достаточно большом 
Пусть n нечетно. Можно считать, что все числа 
где 
является корнем), не равны нулю (если 
при некотором i, то и 
и упорядочены по возрастанию: 
Заметим, что
имеет тот же знак, что и 
Но при 
среди чисел 
есть хотя бы одна пара соседних, имеющих одинаковый знак. Тогда значения в этих точках разного знака, поэтому между ними есть корень многочлена 
Приведем другое решение.
Положим
и
Если среди чисел a1, 
и утверждение задачи доказано. Пусть теперь среди этих чисел нет нулевых. Тогда 
и
Значит, тогда и только тогда, когда 
Имеем
где
Следовательно,
и тогда и только тогда, когда 
Если 
то 
и утверждение задачи доказано. Иначе
и, следовательно, между 
и 
лежит корень производной многочлена Q(t) (так как на интервале 
найдется либо точка минимума, либо точка максимума Q(t)). Значит, уравнение 
имеет действительный корень t0. Поскольку
имеем 
Следовательно, уравнение имеет действительный корень 
Что и требовалось доказать.
Найдите все значения параметров a и b, для которых неравенство
выполняется для всех значений 
(Р. Алишев)
Наибольшее значение функции 
на отрезке 
достигается в критических точках внутри отрезка или на концах. Тогда
критическими являются корни уравнения 
и 
В нуле и единице неравенство должно быть выполнено. Поэтому 
и 
Отсюда несложно получить следующие ограничения на a и b:
то есть 
Для корней уравнения исходное неравенство, очевидно, будет выполняться. Все допустимые значения параметров находим из решения системы:
Построим на плоскости все точки, удовлетворяющие каждому из неравенств. По абсциссе отложим значения параметра a, по ординате — параметра b.
Только точка 
входит в решение каждого из неравенств. Докажем более строго, что нет других решений системы
Если 
то из первого и третьего неравенства получим:
что невозможно. Если же 
то
что тоже не имеет решения. При 
из третьего неравенства сразу получим 
а затем со второго 
Ответ: 
Про функции p(x) и q(x) известно, что p(0) = q(0) > 0 и 
для любого 
Докажите, что если 
то 
Заметим, что 
поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция 
возрастает на промежутке [0; 1]. Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами.
Способ I. Подстановка. Получаем
поскольку 
как следует из условия, неотрицательно.
Способ II. Неравенство о средних. Имеем:
где неравенство следует из неравенства о средних для трёх чисел, а последнее равенство — из условия.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Про функции s(x) и t(x) известно, что s(0) = t(0) > 0 и 
для любого 
Докажите, что если 
то 
Заметим, что 
поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция 
возрастает на промежутке [0; 1]. Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами.
Способ I. Подстановка. Найдем:
поскольку 
как следует из условия, неотрицательно.
Способ II. Неравенство о средних. Получаем
где неравенство следует из неравенств о о средних для трёх чисел, а последнее равенство — из условия.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Решите неравенство
Сравнение максимума и минимума левой и правой частей соответственно.
Ответ: {2}.
Найти все решения в действительных числах системы уравнений
Вычтем первое уравнение из второго и третьего, получим: 
Подставим выражения 
в первое уравнение, получим 
что после раскрытия скобок приводит к кубическому уравнению 
Одним из его корней является 
разлагаем левую часть на множители
Дискриминант второй скобки отрицателен, поэтому единственным действительным корнем уравнения 
и решением исходной системы является 
Тогда 
Ответ: 
Замечание.
После нахождения действительного корня 
его единственность можно доказать и другим способом, исследовав функцию 
Её производная 
имеет корни 
она больше нуля левее первого и правее второго из них, и отрицательна между ними. Следовательно. функция 
возрастает на промежутках
и убывает на промежутке 
Значит, точка 
является точкой её локального максимума, а точка 
—
отрицательны, следовательно, её график может пересекать ось Оx только на промежутке 
на котором она строго монотонно возрастает. Значит, решений уравнения не может быть больше одного, уже найденного нами
Ответ угадан и проверен: 1 балл. Найдены выражения всех переменных через одно типа 
1 балл.
Выражения подставлены в одно из уравнений и получено кубическое уравнение типа 
1 балл.
Замечен и проверен корень кубического уравнения типа 
2 балла.
Вычислены по нему значения остальных переменных: 1 балл.
Доказано, что других корней у кубического уравнения нет и решение единственно: 2 балла.
Действительные числа 
таковы, что 
и 
Докажите, что тогда 
Рассмотрим кубическое уравнение 
относительно переменной t, корнями которого являются действительные числа 
Раскроем скобки в левой части уравнения:
где p = –xyz. Исследуем функцию 
из левой части уравнения. Находим производную 
её корнями являются t1 = 1 и t2 = 3. На интервалах 
и 
она положительна, и на них функция возрастает, на интервале (1, 3) она отрицательна и функция убывает. Следовательно, t1 = 1 точка локального максимума функции, а t2 = 3 — точка локального минимума. Уравнение имеет три корня только при выполнении следующих условий:
При этом 
следовательно, знаки чисел f(0), f(1), f(3), f(4) чередуются, начиная с минуса. Поэтому первый корень уравнения x принадлежит отрезку 
второй корень y принадлежит отрезку 
а третий корень z — отрезку 
что и требовалось доказать.
Приведем другое решение.
1. Ограничим все переменные сразу. Рассмотрим равенства 
и
По теореме Виета y и z являются действительными корнями квадратного уравнения 
относительно переменной t с параметром x. Рассмотрим квадратичную функцию
своё минимальное значение она принимает при 
Уравнение f(t) = 0 имеет два различных действительных корня y < z, поэтому значение
должно быть отрицательно, значит, 
Рассуждение данного пункта, проведённое относительно x можно повторить относительно остальных переменных, поскольку оно не использует условия x < y < z. Следовательно, мы доказали, что 0 < x, y, z < 4.
2. Ограничим значение переменной x. Меньший корень y уравнения
расположен в интервале 
поэтому 
С другой стороны, 
откуда x < 2. Кроме того,
откуда, с учётом уже доказанных неравенств 0 < x < 2, получаем 0 < x < 1. При этом абсцисса вершины параболы
и f(t) при любом 0 < x < 1 убывает на интервале 
и возрастает на интервале (3, 4).
3. Ограничим значение переменной y. Заметим, что при всех 0 < x < 1 выполняется неравенство 
поэтому корень y лежит в интервале 
В частности, y > 1. С другой стороны
при любом 0 < x < 1.
4. Ограничим значение переменной z. Выражение 
отрицательно при всех 0 < x < 1, поэтому корень z лежит в интервале (3, 4).
Первое доказательство.
Найдены точки локального минимума и максимума: 1 балл.
Исследовано поведение функции на интервалах: 1 балл.
Сформулированы условия существования трёх различных корней: 2 балла. Определение границ корней: 3 балла.
Второе доказательство.
Доказательство неравенства 0 < x, y, z < 4: 2 балла. Доказательство неравенства x < 1: 2 балла.
Доказательство неравенства 1 < y < 3: 2 балла. Доказательство неравенства z > 3: 1 балл.
Сколько существует уравнений 
с различными коэффициентами a, b, c, с корнями которых являются числа a, b, c.
Пусть уравнение имеет три различных корня 
Тогда
Будем сначала считать, что все корни уравнения отличны от 0. Рассматривая записанные равенства как систему уравнений с переменными a, b, c и исключая а из второго и третьего уравнений, получим
Поскольку 
и 
то последняя система принимает вид
и после исключения b получим, что 
а тогда после очевидных вычислений будем иметь 
Если теперь уравнение удовлетворяет условию выдачи, то, по доказанному, выполняются равенства
Так как 
то 
и первые два равенства принимают вид 
Переписав второе из них в виде 
заметим, что при 
из первого равенства получаем 
что противоречит условию, а при 
имеем 
и первое равенство принимает вид 
то есть 
или
Исследование функции 
показывает, что она имеет точку максимума 
причём 
является её наибольшим значением на 
так что уравнение не имеет отрицательных уравнений. C другой стороны, на 
функция f монотонна, 
и, следовательно, уравнение имеет ровно один (положительный) корень a0.
Убедимся, что числа 
и 
различны. В самом деле
что неверно и, кроме того,
однако 
не является корнем уравнения 
Таким образом, условию задачи удовлетворяет единственное уравнение с корнями, отличными от. Если один из корней равен 0, то 
и мы должны найти все квадратные уравнения вида 
с коэффициентами a, b, отличными от 0 и друг от друга, имеющие корни a и b. По теореме Виета получаем систему
откуда 
и получаем окончательно, что условию задачи удовлетворяют два уравнения:
где a0 — единственный корень уравнения 
Ответ: условию задачи удовлетворяют два уравнения: 
и де a0 — единственный корень.
и де a0 — единственный корень.При каких тройках чисел (x; y; z) удовлетворяющих системе
выражение 
принимает наибольшее возможное значение?
Рассмотрим функцию 
которая монотонно возрастает на всей числовой оси, поскольку ее производная 
причем в достаточно малой окрестности каждой точки, в которых производная обращается в ноль, нет других точек с нулевой производной. Значит, 
принимает каждое свое значение ровно один раз. Далее, поскольку первое уравнение системы может быть записано в виде: 
получаем x = y. Аналогично, для второго уравнения из 
следует, что y = z, то есть системе удовлетворяет любая тройка (x; x; x), где 
Тогда решение задачи сводится к нахождению точек максимума функции 
Эта функция чётная, поэтому достаточно рассмотреть её только при 
При этих значениях x получаем
На отрезке [0, 1] функция 
непрерывна, и на промежутке (0, 1) её производная положительна, поэтому на отрезке [0, 1] эта функция возрастает от 0 
производная отрицательная, поэтому на промежутке 
функция убывает, оставаясь положительной. Таким образом, x = 1 является точкой максимума функции f(x). Аналогично x = −1 также является ее точкой максимума. Окончательно получаем, что на решениях системы выражение принимает максимальное значение в точках (−1; −1; −1) и (1; 1; 1).
Ответ: (−1; −1; −1), (1; 1; 1).
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Верный ответ без обоснования | 0 |
| Обнаружил и обосновал инъекцию в одном уравнении системы | 0,5 |
| Верно нашел точки экстремума без обоснования равенства аргументов | 0,5 |
| Обнаружил и обосновал инъекцию в обоих уравнениях системы | 1,0 |
| На основе решенной системы упростил исследуемую на экстремум функцию | 1,5 |
| Верно нашел решения, реализующие экстремум | 2,0 |
Наверх