Всего: 6 1–6
Добавить в вариант
Дана функция 
где P(x) многочлен степени 1000 с положительными коэффициентами. Пусть g(x) сороковая производная f(x). Докажите, что 
Рассмотрим какой-то одночлен 
Его n-ая производная равна
а поскольку и k, и n не больше тысячи, эта производная не превосходит 
причём равенство достигается только когда 
и 
Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо x число 1000, и получаем, что 
По индукции легко доказать выполнение следующего равенства:
Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что
Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак 
на <.
Таким образом, мы получили, что 
откуда делением на 
получаем требуемое неравенство.
Дана функция где P(x) многочлен степени 100 с положительными коэффициентами. Пусть g(x) двадцатая производная f(x). Докажите, что 
Рассмотрим какой-то одночлен Его n-ая производная равна
а поскольку и k, и n не больше ста, эта производная не превосходит 
причём равенство достигается только когда и 
Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо x число 100, и получаем, 
Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что
Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак на <.
Таким образом, мы получили, что 
откуда делением на 
получаем требуемое неравенство.
а) Решите уравнение 
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны 
то все его корни по модулю меньше двух.
в) Известно, что 
и 
Докажите, что 
а)Очевидно при 
левая часть положительна, а правая отрицательна, поэтому отрицательных корней быть не может. При положительных x поделим уравнение на 
Получим
В левой части сумма k выражений вида 
что при положительных a не меньше двух:
причем равенство достигается только при 
Поэтому сумма k таких выражений не меньше 
и равенство достигается только при 
Перепишите уравнение в виде 
Ответ:
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны то все его корни по модулю меньше двух.
Запишем многочлен в виде 
(если старший коэффициент равен −1, домножим его на −1 от этого его корни не изменятся.
Пусть a его корень, 
Тогда 
но
Противоречие. Докажите, что если 
то 
в) В силу обобщенных формул Виета, из данных уравнений следует, что числа 
суть корни кубического многочлена 
Постройте обычным способом график кубической функции 
взгляните на полученный рисунок и ... решение закончено!
Известно, что и Докажите, что Рассмотрим кубический многочлен
Он имеет корни 
Обозначив 
получим, что уравнение 
имеет три корня. Выясним для начала, когда это возможно.
Пусть 
тогда
поэтому 
возрастает при 
убывает при 
и возрастает при 
При этом 
и 
поэтому уравнение 
имеет три корня тогда и только тогда, когда 
Далее, 
и 
поэтому прямая 
пересекает график функции 
на промежутке 
при 
а на промежутке 
при 
Отсюда и получаем, что 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Существует ли такое действительное α, что оба числа 
и 
рациональны?
Предположим, от противного, что для некоторого α выполняется: 
и 
где a, b — рациональные числа. Тогда
Возводя в квадрат и складывая эти соотношения, получим
Если 
от отсюда уже получается противоречие, так как в левой части рациональное число, а в правой — иррациональное. Значит, 
и на самом деле мы имеем два уравнения и 
Вычитая эти уравнения, получим 
Но функция 
принимает наибольшее значение 
при 
(в этом можно убедиться, исследуя функцию с помощью производной или преобразовав данное выражение через вспомогательный угол). Таким образом, получаем противоречие (левая часть оказалась меньше правой).
Ответ: не существует.
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.
Найдите все пары целых чисел (x, y) для которых выполнено равенство 
Функция 
принимает значения от −0,25 до бесконечности, 
от минус бесконечности до 2,25. Общие значения (целые) 0, 1, 2, Дальше подбором.
Ответ: (−1, 0); (−1, 1); (0, −1); (0, 2); (1, −1), (1, 2), (2, 0); (2, 1).
Существует ли функция, значения которой и ее 2007 производных при 
равны 2007?
Для начала распишем условие в форме уравнений:
Сразу бросается в глаза что 
Известная возможная функция, удовлетворяющая этому условию, это 
(экспоненциальная функция). Однако 
не равно 2007. Следовательно, вместо 
мы должны использовать функцию такого же вида, но с соблюдением условия равенства. Это может быть только функция 
Тогда 
при 
отсюда 
Значит, коэффициент k равен 
Итого итоговая функция f(x) выглядит следующим образом
Ответ: да, существует.
Наверх