Не­фор­маль­но го­во­ря, про­бле­ма в этой за­да­че не в том, чтобы найти путь вы­чис­ле­ний, при­во­дя­щий к от­ве­ту; а в том, чтобы найти путь к от­ве­ту, про­хо­дя­щий через не слиш­ком боль­шое ко­ли­че­ство про­ме­жу­точ­ных вы­чис­ле­ний. По­ка­жем, как это сде­лать.

Как из­вест­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го век­то­ра­ми и равна Если точка дви­жет­ся рав­но­мер­но и пря­мо­ли­ней­но, то ее ко­ор­ди­на­ты за­ви­сят от вре­ме­ни t как Тогда ве­ли­чи­на как функ­ция от t яв­ля­ет­ся мно­го­чле­ном вто­рой сте­пе­ни. Вы­бе­рем ось вре­ме­ни так, чтобы ноль был в се­ре­ди­не от­рез­ка на­блю­де­ния, а на­чаль­ный и ко­неч­ный мо­мен­ты имели ко­ор­ди­на­ты −1 и 1 со­от­вет­ствен­но. Обо­зна­чим Ко­ор­ди­на­ты точек B и C в се­ре­ди­не от­рез­ка на­блю­де­ния легко счи­та­ют­ся, это (12, 10) и (15, 14) со­от­вет­ствен­но. Итак,

От­ку­да

Ми­ни­мум квад­рат­но­го трех­чле­на до­сти­га­ет­ся в точке

Итак, мы видим, что ми­ни­мум вы­ра­же­ния попал на от­ре­зок на­блю­де­ния, кроме того он по­ло­жи­те­лен, то есть мо­дуль равен вы­ра­же­нию под мо­ду­лем. Итого, ис­ко­мая пло­щадь сна­ча­ла умень­ша­лась от 44 до 8, потом росла от 8 до 24, таким об­ра­зом при­ни­мая целые зна­че­ния раза.

Ответ: 53.

Пусть ра­ди­ан­ная мера угла близ­ка свер­ху ра­ди­ан­ной мере угла то есть По­ка­жем, что длина сто­ро­ны a близ­ка свер­ху длине сто­ро­ны b. По­сколь­ку на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, до­ста­точ­но до­ка­зать, что В силу убы­ва­ния функ­ции (школь­ни­ки долж­ны до­ка­зать это^*), по­лу­ча­ем:

Так как то По тео­ре­ме си­ну­сов от­ку­да

^*  — до­ка­за­тель­ство убы­ва­ния на :

Дей­стви­тель­но, Сле­до­ва­тель­но, функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке и y(0) = 0. То есть на от­рез­ке

Функ­ция f(x) при­мет вид ее про­из­вод­ная равна

Фор­му­ла пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC равна x₀  — абс­цис­са точки ка­са­ния A, ко­ор­ди­на­ты точек равны и точка C яв­ля­ет­ся пе­ре­се­че­ни­ем ка­са­тель­ной с осью y. Пусть C(x₀). Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции имеет вид

Точка C при­над­ле­жит ка­са­тель­ной, ее ко­ор­ди­на­ты под­став­ля­ем в урав­не­ние ка­са­тель­ной:

Тогда и зна­чит,

Для по­ис­ка экс­тре­му­мов функ­ции

на­хо­дим нули про­из­вод­ной этой функ­ции

По­сколь­ку то един­ствен­ной точ­кой экс­тре­му­ма, а имен­но, точ­кой ми­ни­му­ма для этой функ­ции яв­ля­ет­ся точка сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 4.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

Имеем урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке (1; 1) и ра­ди­у­сом Пе­рей­дем к си­сте­ме ко­ор­ди­нат Ouv с со­хра­не­ни­ем мас­шта­ба (см. рис.). Урав­не­ние окруж­но­сти в этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, одна вер­ши­на ко­то­ро­го сов­па­да­ет с на­ча­лом ко­ор­ди­нат, дру­гая лежит на окруж­но­сти, а вер­ши­на пря­мо­го угла рас­по­ло­же­на на пря­мой вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

где вер­ши­на лежит на окруж­но­сти, вер­ши­на пря­мо­го угла Имеем

На­хо­дим нули про­из­вод­ной этой функ­ции

Един­ствен­ной точ­кой экс­тре­му­ма, а имен­но, точ­кой мак­си­му­ма для этой функ­ции яв­ля­ет­ся точка от­сю­да,

Ответ: 1,6875.

Из усло­вия па­рал­лель­но­сти плос­ко­стей A₁B₁C₁ и ABC сле­ду­ет, что тет­ра­эд­ры A₁B₁C₁D и ABCD по­доб­ны. Пусть x  — ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия этих тет­ра­эд­ров и h  — вы­со­та тет­ра­эд­ра ABCD из точки D. Тогда h − xh  — вы­со­та тет­ра­эд­ра A₁B₁C₁D₁ из точки D₁.

По­сколь­ку пло­ща­ди ос­но­ва­ний A₁B₁C₁ и ABC тет­ра­эд­ров A₁B₁C₁D₁ и ABCD от­но­сят­ся как x₂, а вы­со­ты  — как по­лу­ча­ем за­да­чу на мак­си­мум для функ­ции Решая эту за­да­чу с по­мо­щью про­из­вод­ной на­хо­дим кри­ти­че­скую точку в ко­то­рой до­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние (в дру­гой кри­ти­че­ской точке так же, как и при оче­вид­но, до­сти­га­ет­ся наи­мень­шее зна­че­ние 0). Что тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Пусть в пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC точка O центр её ос­но­ва­ния ABC, а от­ре­зок PQ  — общий пер­пен­ди­ку­ляр скре­щи­ва­ю­щих­ся рёбер AD и CB, Если то пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды

Так как то

Обо­зна­чив через V(x) объём пи­ра­ми­ды DABC, по­лу­ча­ем

Найдём про­из­вод­ную:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке При имеем при имеем по­это­му Не­труд­но по­ка­зать, что при этом

Итак, ис­ко­мой пи­ра­ми­дой наи­мень­ше­го объёма будет пра­виль­ный тет­ра­эдр с реб­ром

Ответ: см. рис.

Имеем и Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции:

Для ка­са­тель­ных, про­хо­дя­щих через точку A:

От­сю­да где или Урав­не­ния ка­са­тель­ных, про­хо­дя­щих через точку A: 1) 2)

Урав­не­ние пря­мой CB:

где x_*  — абс­цис­са точки ка­са­ния с гра­фи­ком функ­ции.

В точке Тогда

В точке по­лу­ча­ем

где и

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна

Зна­чит, при На­хо­дим наи­боль­шую пло­щадь:

Ответ: 1.

Имеем и Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции:

Для ка­са­тель­ных, про­хо­дя­щих через точку A:

От­сю­да где или Урав­не­ния ка­са­тель­ных, про­хо­дя­щих через точку A: 1) 2)

Урав­не­ние пря­мой CB:

где x_*  — абс­цис­са точки ка­са­ния с гра­фи­ком функ­ции.

В точке Тогда

В точке по­лу­ча­ем

где и

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна

Зна­чит, при На­хо­дим наи­боль­шую пло­щадь:

Ответ: 1.

Обо­зна­чим через a длину AD, x  — длина от­рез­ка CD, BD  — пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой AD, d  — длина пер­пен­ди­ку­ля­ра, φ  — угол тре­уголь­ни­ка CBD. Обо­зна­чим ско­рость по полю υ. Тогда ско­рость по шоссе 2υ. А время в пути:

Вы­чис­лим про­из­вод­ную, по­лу­чим:

Тогда:

Если то   — точка ми­ни­му­ма функ­ции T(x). В этом слу­чае

Если то функ­ция T(x) убы­ва­ет на от­рез­ке и в этом слу­чае

Ответ: 120°, если если

Введём ко­ор­ди­на­ты: пусть вер­ши­ны A, B, C имеют ко­ор­ди­на­ты со­от­вет­ствен­но (0, 0), и

До­ка­жем, что M долж­на ле­жать на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к BC (то есть на оси OX ). Пусть ис­ко­мая точка M имеет ко­ор­ди­на­ты (x, y), и пусть Рас­смот­рим с ко­ор­ди­на­та­ми (x, 0). Ясно, что (катет ко­ро­че ги­по­те­ну­зы). Те­перь до­ста­точ­но до­ка­зать, что Это можно сде­лать по-раз­но­му. На­при­мер, за­ме­тить, что если точка M лежит на не­ко­то­ром эл­лип­се с фо­ку­са­ми B и C, то, ис­хо­дя из вы­пук­ло­сти эл­лип­са, будет ле­жать внут­ри этого эл­лип­са.

Оста­лось рас­смот­реть слу­чай, когда M лежит на OX, то есть M имеет ко­ор­ди­на­ты (x, 0) т. к. точка внут­ри тре­уголь­ни­ка). Рас­смот­рим функ­цию

и найдём её ми­ни­мум. За­ме­тим, что f(0)  =  8, по­это­му точка A не яв­ля­ет­ся ис­ко­мой точ­кой. Зна­чит, мы можем про­диф­фе­рен­ци­ро­вать f(x) и при­рав­нять про­из­вод­ную к 0.

Умно­жив на (по­ло­жи­тель­ный) зна­ме­на­тель и при­рав­няв вы­ра­же­ние к нулю, по­лу­чим

Воз­во­дя обе части в квад­рат, имеем

или от­ку­да Так как точка на­хо­дит­ся внут­ри тре­уголь­ни­ка, нам под­хо­дит Эта точка ха­рак­те­ри­зу­ет­ся свой­ством

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Сле­ду­ю­щая лемма яв­ля­ет­ся след­стви­ем фор­му­лы Тей­ло­ра. Лемма. Пусть υ, x  — не­ну­ле­вые век­то­ра, и пусть Тогда при стре­мя­щем­ся к нулю

где e_υ  — еди­нич­ный век­тор в на­прав­ле­нии век­то­ра υ.

До­ка­за­тель­ство леммы.

За­да­дим ко­ор­ди­на­ты так, чтобы (a > 0). Тогда

Раз­ло­жим f(ε) по фор­му­ле Тей­ло­ра. Для этого найдём про­из­вод­ную f(ε):

Тогда Оста­лось за­ме­тить, что

Пусть длина сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка 1 и Тогда за­ме­тим, что ми­ни­мум на всей плос­ко­сти до­сти­га­ет­ся внут­ри круга ра­ди­у­са 5 с цен­тром в цен­тре тре­уголь­ни­ка, по­то­му что ис­ко­мая ве­ли­чи­на вне круга ока­зы­ва­ет­ся не мень­ше 10, а зна­чит ми­ни­мум не там, по­то­му что если рас­смот­реть M  =  A, S(M)  =  4.

Те­перь по­сколь­ку круг  — ком­пакт, на нем до­сти­га­ет­ся ми­ни­мум, а зна­чит он до­сти­га­ет­ся либо в вер­ши­не, либо в не­ко­то­рой точке, из ко­то­рой любой малый сдвиг не умень­ша­ет сумму.

За­ме­тим, что при сдви­ге на век­тор εx, где x  — век­тор длины 1, а ε стре­мит­ся к нулю, из­ме­не­ние длины равно

Это вы­ра­же­ние долж­но быть не­от­ри­ца­тель­но при любом на­прав­ле­нии век­то­ра x, сле­до­ва­тель­но, век­тор рав­ня­ет­ся нулю.

Тогда углы между на­прав­ле­ни­я­ми на вер­ши­ны из M такие же как углы в тре­уголь­ни­ке со сто­ро­на­ми 2, 2, 1. В силу ра­вен­ства углов AMB и AMC, точка M лежит на оси сим­мет­рии тре­уголь­ни­ка, про­хо­дя­щей через A. Оче­вид­но, что Дан­ные па­ра­мет­ры един­ствен­ным об­ра­зом за­да­ют точку M. Ра­зу­ме­ет­ся, эту точку можно за­дать и дру­ги­ми спо­со­ба­ми.

Обос­но­ва­ние: из фор­му­лы для ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти

Экс­тре­мум функ­ции будет при и в этой же точке функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние. От­сю­да и Зна­чит,

где Т. к. у нас тре­уголь­ник, то

Ответ: ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг та­ко­го тре­уголь­ни­ка, ока­жет­ся ми­ни­маль­но воз­мож­ным при усло­вии, что тре­уголь­ник будет пря­мо­уголь­ным.