Всего: 31 1–20 | 21–31
Добавить в вариант
Найдите расстояние между кривыми 
и 
Расстояние между трафиками функций равно расстоянию между их ближайшими точками. Заметим, что функции, между трафиками которых требуется найти расстояние, являются обратными друг к другу, а их графики симметричны относительно прямой 
и, кроме того, находится по разные стороны от нее.
Если мы найдём на графике функции 
точку A, ближайшую к прямой 
то точка 
симметричная ей, очевидно, будет ближайший к этой прямой на графике функции
Если провести через эти точки прямые, параллельные примой графики обеих функций окажутся вне полосы, ограниченной этими прямыми, значит, расстояние между любыми двумя точками на этих трафиках не меньше расстояния между этими прямыми. С другой стороны, расстояние между этими прямыми равно расстояния между точками A и значит, 
и есть искомое расстояние. Пусть координаты точки A это 
тогда 
имеет координаты 
и расстояние между ними
Рассмотрим функция 
и найдем ее минимум с помощью производной:
Приравнивая эту производную к нулю в точке 
мы получаем
Тогда при 
функция 
убывает, а при 
—
функция достигает минимума. Получаем
следовательно 
при 
Таким образом, 
Заметим, что 
отличается от домножением на 
следовательно, минимум функции достигается в той же точке, что и минимум функции 
Таким образом, минимальное расстояние равно:
Ответ: 
Найдите расстояние между кривыми 
и 
Расстояние между графиками функций равно расстоянию между их ближайшими точками. Заметим, что функции, между графиками которых требуется найти расстояние, являются обратными друг к другу, а их графики симметричны относительно прямой и, кроме того, находятся по разные стороны от нее̄.
Если мы найдём на графике функции 
точку A, ближайшую к прямой то точка симметричная ей, очевидно, будет ближайшей к этой прямой на графике функции
Если провести через эти точки прямые, параллельные прямой графики обеих функций окажутся вне полосы, ограниченной этими прямыми, значит, расстояние между любыми двумя точками на этих графиках не меньше расстояния между этими прямыми. С другой стороны, расстояние между этими прямыми равно расстоянию между точками A и значит, и есть искомое расстояние.
Пусть координаты точки A это 
тогда имеет координаты 
и расстояние между ними
Рассмотрим функцию 
и найдем ее минимум с помощью производной: 
Приравнивая эту производную к нулю в точке мы получаем 
Тогда при функция убывает, а при 
возрастает, следовательно, в точке функция достигает минимума.
следовательно, при Таким образом, 
Заметим, что отличается от домножением на следовательно, минимум функции достигается в той же точке, что и минимум функции 
Таким образом, минимальное расстояние равно: 
Ответ:
Дана функция 
Пусть 
Обозначим через 
сумму площадей двух криволинейных треугольников, ограниченных графиком функции f, вертикальными прямыми 
и горизонтальной прямой, проходящей через точку графика с абсциссой 
а) Получите явную формулу для функции 
б) Найдите точку минимума функции S.
в) Выполните пункт б) в случае, если 
a) Обозначим через сумму площадей двух криволинейных треугольников, ограниченных графиком функции f, вертикальными прямыми и горизонтальной прямой, проходящей через точку графика с абсциссой
б) Найдите точку минимума функции S.
Из рисунка видно, что сумма площадей этих двух треугольников при 
может быть вычислена как разность площади A криволинейного треугольника, образованного прямыми 
и графиком функции и площади прямоугольника с вертикальной стороной 
и горизонтальной 
то есть 
Тогда
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, убывает при 
и возрастает при 
Поэтому 
— Вычислять A не обязательно, хотя на самом деле 
в) Выполните пункт б) в случае, если
Поскольку 
и функция возрастает на 
картинка выглядит примерно так же, как в предыдущем пункте и все наши утверждения остаются верными, кроме конкретного значения A, которое все так же можно не искать.
Будем решать более общую задачу, предполагая что функция f монотонно возрастает на имеет производную на этом отрезке и 
Имеем (см. рис.):
если 
то 
Дифференцируя, получаем
— точка минимума функции S.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Точка начинает движение из начала координат и движется по графику функции 
и не меняет направление движения. При каком p эта точка всегда удаляется от начала координат?
Пусть для определенности
если 
то 
—
Функции
должна быть возрастающей, т. е. функция 
— возрастающая.
При 
—
—
следовательно, 
Ответ: 
Найти все экстремумы функции 
У функции
следовательно,
Промежутки возрастания и убывания функции изобразим на рисунке.
Ответ: 
и 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
и Найти все экстремумы функции 
на интервале (0; 0,6).
Найдем производную:
Отсюда 
и 
Значит, 
Ответ:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Найти все экстремумы функции 
на интервале 
Находим производную:
На интервале 
лежит
Следовательно, 
и 
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Найдите множество значений функции 
где
Функция 
принимает значения 
Рассмотрим функцию 
определенную на полуинтервале [−1; 1). Графиком этой функции является гипербола с асимптотами 
и 
Функция 
на промежутке [−1; 1) неограниченно возрастает. Таким образом, минимальное значение y равно 
оно достигается в точке 
и функция принимает все значения из промежутка 
Функция 
определена для тех x, для которых 
принимает значения из промежутка 
Множество значений функции f(i) есть множество 
Ответ: 
Найдите множество значений функции 
где 
Преобразуем исходное выражение:
Функция 
принимает значения 
Рассмотрим функцию 
определенную на отрезке [−2; 2]. Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке (−1; −5), ветви которой направлены вниз. Таким образом, максимальное значение y равно −5, оно достигается в точке минимальное значение функция принимает в точке 
оно равно −14, и функция принимает все значения из промежутка [−14; −5].
Функция 
определена для тех x, для которых g(x) принимает значения из промежутка [−6; −5]. Множество значений функции f(x) есть множество 
Ответ:
Найти все экстремумы функции 
на интервале (−5; 10).
Запишем ОДЗ: 
Найдем производную
Из полученного уравнения находим корни 
следовательно, 
и 
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Найдите множество значений функции
где 
Рассмотрим сначала функцию 
Функция 
определена для всех 
Найдем экстремумы функции 
Для того найдем интервалы знакопостоянства производной функции 
при 
Проходя через точку 
производная 
меняет знак с плюса на минус, следовательно, является точкой максимума, 
Проходя через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, является точкой минимума, 
График функции представлен на рисунке. Множеством значений этой функции является множество 
Функция
Поскольку функция 
возрастает на промежутке 
и принимает все числовые значения, то множеством значений функции 
следовательно, и g(x), является множество 
причем 
По той же причине множеством значений функции 
также является множество 
Множеством значений функции 
является множество
а функции 
— множество
Таким образом,
Отсюда находим множество 
значений функции
Ответ: 
Найти все экстремумы функции 
Найдем производную:
отсюда 
следовательно, 
Ответ:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Найдите множество значений функции
где 
Рассмотрим сначала функцию Функция определена для всех Найдем экстремумы функции Для того найдем интервалы знакопостоянства производной функции
при Проходя через точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, является точкой максимума, Проходя через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, является точкой минимума, График функции представлен на рисунке. Множеством значений этой функции является множество Функция
Поскольку функция 
возрастает на промежутке и принимает все числовые значения, то множеством значений функции 
следовательно, и g(x), является множество причем По той же причине множеством значений функции 
также является множество Множеством значений функции 
является множество
а функции 
— множество 
Таким образом,
Отсюда находим множество значений функции
Ответ: 
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции 
Найдем область определения функции
Вычислим
Найдем стационарные точки функции:
Исследуем производную на знак в области определения функции, результаты исследования представим в виде таблицы:
| x |  |  |  | 0 |  |  |  |
 | − | 0 | + | + | 0 | − | |
| ↓ |  | ↑ | ↑ |  | ↓ |
Ответ: функция возрастает на интервалах 
и 
убывает на интервалах 
и 
—
—
и 
и убывает на интервалах и — — и Найти уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Уравнение касательной 
Найдем
Вычислим 
и 
Запишем уравнение касательной
Ответ: уравнение касательной 
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке [0, 8].
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке [0, 8], надо найти ее стационарные точки на интервале (0, 8), вычислить значения функции в стационарных точках и на концах отрезка и выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее. Найдем
Итак, имеем две стационарные точки, из которых рассматриваем только 
Вычислим 
Сравнив эти три числа, получим ответ.
Ответ: наибольшее значение функции 
наименьшее 
наименьшее Найдите множество значений функции 
где
для любого натурального числа n.
Найдем сначала множество значений функции 
Имеем
Функция 
принимает значения 
Рассмотрим функцию 
определенную на полуинтервале [−1; 1). Графиком этой функции является гипербола с асимптотами и 
Функция 
на промежутке [−1; 1) неограниченно возрастает. Таким образом, минимальное значение z равно 
оно достигается в точке и функция на промежутке [−1; 1) принимает все значения из промежутка 
Функция 
на промежутке 
возрастает и принимает все значения из промежутка
Функция 
будет принимать те же значения, что и функция 
если 
Поскольку функция 
при 
принимает все значения из отрезка [−1; 1], то повторяя рассуждения, приведенные выше, получаем, что множеством значения функции является промежуток 
И так далее, следовательно, множеством значений функции 
является промежуток 
Ответ: 
а) Исследуйте функцию
б) Найдите область определения и множество значений этой функции.
Поскольку 
то 
при всех x. Значит, область определения 
Преобразуем выражение для y, домножив числитель и знаменатель на множитель 
Заметим, что этот множитель равен нулю лишь при это следует из того, что
После домножения знаменатель будет равен −2x, а числитель 
(в обоих случаях используется формула для разности квадратов). Таким образом, при 
имеем 
Очевидно, эта функция нечетная, при 
исходное выражение для y дает значение Поэтому достаточно рассмотреть 
Множество значений можно найти, исследовав данную функцию с помощью производной. Но можно обойтись без производной следующим образом. Множество значений y — это множество тех параметров t, для которых уравнение 
имеет решение, заметим, что 
при Имеем
Поскольку мы рассматриваем то 
Учитывая нечетность функции, получаем множество значений (−1; 1).
Ответ:
а) функция нечетная;
б) область определения 
множество значений (–1; 1).
а) функция нечетная;
б) область определения множество значений (–1; 1).
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно три решения?
Решение. Приведём выражение к более удобному виду:
Обозначим 
через u, а 
через v. Заметим, что 
Исследуем поведение функции 
при 
а именно, покажем, что она монотонна на этом луче. Для этого достаточно показать, что её производная знакопостоянна на нём. Получаем
Покажем, что
при 
Действительно,
Значит, 
при 
Функция f монотонна и 
следовательно, 
то есть
то есть 
Нарисовав графики функций 
и 
легко понять, что чтобы было ровно три решения, необходимо либо, чтобы у них совпадали вершины, либо происходило касание. Первое происходит при 
второе при 
Ответ: при 
1; 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач - задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
Комментарий по оцениванию данной задачи
Без доказательства утверждается, что из 
следует a = b — не выше «∓».
Без доказательства утверждается, что из 
следует a = b — не выше «∓».
1; При каких значениях параметра a уравнение 
имеет единственное решение?
Заметим, что не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через f(x).
Заметим, что 
при 
и 
при 
Также f(x) имеет вертикальную асимптоту
Производная функции f(x) равна
Значит, функция f(x):
а) на промежутке 
убывает от 
до 
б) на промежутке [−4; 0) — возрастает от 
до 
в) на промежутке (0; 1] — убывает от до 
г) на промежутке [1; 3] — возрастает от −8 до 
д) на промежутке 
—
до 
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция f(x) принимает ровно один раз; −8 — два раза; из промежутка 
— —
—
—
—
Следовательно, уравнение (*), а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при 
Ответ: 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Наверх