Всего: 200 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Три различных положительных числа являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Эти же три числа являются тремя (не обязательно последовательными) членами некоторой геометрической прогрессии. Приведите пример трёх таких чисел.
При таком значении q числа 1, q, q3 удовлетворяют условию задачи.
таких, что среди всех возможных попарных сумм этих натуральных чисел ровно 7 различных. Общее количество пар из n чисел равно 
и должно быть не меньше 7, поэтому 
С другой стороны, ввиду очевидных неравенств: 
имеем 
и 
Следовательно, 
и каждая невыписанная попарная сумма чисел 
и все они больше 
и меньше 
По условию, они должны совпадать с суммами 
в указанном порядке. Отсюда: 
следовательно, числа 
образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма равна 
откуда следует, что число 4032 должно делиться на 5 — противоречие. 
.
.Натуральные числа a, b, c, d, и e являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите наименьшее возможное значение числа c, если сумма b + c + d является полным квадратом, а сумма a + b + c + d + e является полным кубом.
таких, что
тогда для произвольного 
выполняется неравенство 
Следовательно, 
Пример девяти чисел, удовлетворяющих условию: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11.
.
можно выбрать 4 числа, образующих возрастающую арифметическую прогрессию?
(первый член прогрессии может принимать значения от 1 до 
количество прогрессий с разностью d равно 
Разность d удовлетворяет неравенству 
(если первый член прогрессии равен 1, то ее четвертый член, 
не превосходит 
Поэтому наибольшее значение разности равно 
(квадратные скобки обозначают целую часть числа). Следовательно, количество прогрессий, удовлетворяющих условию задачи, равно:
где 
где 
количество прогрессий с разностью d равно 
не превосходит n). Поэтому наибольшее значение разности равно 
имеем 
и число способов равно 166167.Даны первые 2025 членов арифметической прогрессии. Коля посчитал среднее арифметическое для всех пар членов последовательности. Затем он выписал получившиеся результаты, упорядочив их по возрастанию и исключив повторы. Например, из набора чисел 4, 2, 9, 9, 9, 5, 4 Коля бы выписал числа 2, 4, 5, 9.
а) Докажите, что полученная последовательность также является арифметической прогрессией. (6 баллов)
б) Сколько чисел выписал Коля? (4 балла)
выполняется 
для некоторых l и m. Следовательно,
При этом Коля выписал 4047 чисел.
Тогда сумма первых шести членов — это 
а сумма следующих четырёх равна 
Приравнивая эти величины, получаем 
откуда 
а сумма следующих пяти равна 
Приравнивая эти величины, получаем 
то есть 
откуда 
В положительной непостоянной геометрической прогрессии среднее арифметическое второго, седьмого и девятого членов равно какому-то члену этой прогрессии. Какой минимальный номер у него может быть?
Тогда надо решить уравнение 
У этого уравнения есть корень 
но он нам не подходит, так как прогрессия непостоянна. Тогда
отрицателен, а при 
положителен, значит, у этого выражения есть корень между нулём и единицей. В положительной непостоянной геометрической прогрессии среднее арифметическое третьего, четвертого и восьмого членов равно какому-то члену этой прогрессии. Какой минимальный номер у него может быть?
bq 
Тогда надо решить уравнение 
Стaрший коэффициент квaдрaтного трёхчленa f(x) рaвен 1. Все три коэффициентa в некотором порядке обрaзуют геометрическую прогрессию из трёх элементов с рaзностью q. Нaйдите все возможные знaчения q, если известно, что это рaционaльное число и рaзность корней f(x) рaвнa q.
в некотором порядке. Корни можно представить как b и 
два других коэффициента: q и 
Далее, 
что невозможно из определения геометрической прогрессии.
легко убедится, что они не подходят. 
два других коэффициента: 
и q. 
легко убедится, что они не подходят. 
Далее, 
два других коэффициент а: 
Таким образом, все случаи разобраны, рациональных решений нет.Стaрший коэффициент квaдрaтного трёхчленa f(x) рaвен 1. Все три коэффициентa в некотором порядке обрaзуют геометрическую прогрессию из трёх элементов с рaзностью d. Нaйдите все возможные знaчения d, если известно, что это рaционaльное число и корни f(x) отличаются в d раз.
в каком-то порядке. Корни трёхчлен а можно представить как b и bd. 
и 
значит, 
или 
Если 
пишем также равенство на свободный член: 
легко убедится, что они не подходят. 
два других коэффициента: 
легко убедится, что они не подходят. 
два других коэффициента: 
легко убедится, что они не подходят.
и 
значит, 
для какого-то целого k, то есть 
Так как 
нас интересуют только неположительные k. Обозначим 
Число n принимает неотрицательные значения, тогда длина промежутка отрицательности нашей функции, имеющего номер n при нумерации с левой стороны (нумерация начинается с 0), равна 
Дана геометрическая прогрессия 
все члены которой положительны, а их сумма равна S. Известно, что если все её члены с номерами, кратными 3 (т. е. 
увеличить в 50 раз, сумма S увеличится в 10 раз. А как изменится S, если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. 
увеличить в 2 раза?
Если 
значит, сумма первых n членов прогрессии может быть посчитана по формуле 
... 
Отсюда 
раз.Дана геометрическая прогрессия 
..., 
..., 
...,
Отсюда 
Если увеличить все члены прогрессии с чётными номерами втрое, получаем 
раз.
раз.Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно 
а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно 
и знаменателем q равна 
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
поэтому при n, стремящемся к бесконечности, 
стремится к нулю, а сумма членов стремится к 
также образуют геометрическую прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
четвёртые степени членов — прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
а квадраты — прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
или 
Так как прогрессия является бесконечно убывающей, 
Известно, что отношение суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии к сумме кубов всех членов этой же прогрессии равно 
а отношение суммы четвёртых степеней всех членов к сумме квадратов всех членов этой прогрессии равно 
Найдите первый член и знаменатель указанной прогрессии.
или 
Так как прогрессия является бесконечно убывающей, 
и 
значит, 
Так как 
