Всего: 228 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Шестнадцать рыбаков, разбитых на три группы, вместе поймали 113 рыб. Каждый рыбак первой группы поймал по 13 рыб, второй — по 5 рыб, третьей — по 4 рыбы. Сколько рыбаков в каждой группе?
Обозначим количество рыбаков в группах через x, y, z соответственно. По условию, 
Вычитаем учетверённое первое уравнение из второго, получаем 
откуда 
значит, 
С другой стороны, 
значит, 
откуда 
Следовательно, подходить может единственный вариант: 
Проверяем его подстановкой во второе уравнение и убеждаемся, что это решение.
Ответ: В первой группе 5 рыбаков, во второй группе 4 рыбака, в третьей группе 7 рыбаков.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение, ответ найден полным грамотным перебором вариантов, приведённом в решении. | 7 |
| Выписаны уравнения, но не решены. | 2 |
| В процессе перебора в тексте решения что-либо упущено. | 2 |
| Ответ найден угадыванием с проверкой. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Решить в действительных числах систему уравнений: 
Рассмотрим случаи.
1) Пусть 
тогда 
откуда 
— первые три решения.
2) Пусть 
тогда 
откуда 
— первое и два последних решения. Покажем, что других решений нет.
3) Пусть 
и 
Вычтем из первого второе уравнение и разделим на 
получим 
Сложим первое и второе уравнение и разделим на 
получим 
Следовательно, 
откуда 
то есть что в данном случае невозможно. Новых решений не получается.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Рассмотрены первые два случая. | 2 |
| Угаданы с проверкой все решения. | 1 |
| Потеряна часть решений. | 3-6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Решить в действительных числах систему уравнений: 
Рассмотрим случаи.
1) Пусть тогда 
откуда 
что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
2) Пусть тогда 
откуда 
что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
3) Пусть 
Домножим первое уравнение на 
Получим 
Домножим второе уравнение на 
получим: 
Поделим второе уравнение на первое, получим 
откуда 
С учётом первого уравнения, 
Заменяя 
получаем биквадратное уравнение 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Потеря части решений или приобретение лишних решений. | 4-5 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
В системе из трёх линейных уравнений 
от трёх переменных x, y, z коэффициенты А, Е, I — положительны, а остальные отрицательны, и каждый из А, Е, I больше модуля суммы двух оставшихся коэффициентов того же уравнения. Докажите, что система имеет единственное решение 
Предположим, система имеет ненулевое (когда значение хотя бы одной переменной отлично от нуля) решение. Умножая его при необходимости на минус единицу, получим ненулевое решение, в котором значения хотя бы двух переменных неотрицательны. Далее рассмотрим два случая.
1) Значения всех переменных неотрицательны. Выберем переменную, значение которой максимально и рассмотрим уравнение с тем же порядковым номером, что у этой переменной. Скажем, если максимально 
то
противоречие. Остальные два случая рассматриваются аналогично.
2) Среди значений переменных есть отрицательное. Скажем, если 
то 
— противоречие. Остальные два случая рассматриваются аналогично.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Сведение к случаю, когда значения хотя бы двух переменных неотрицательны (или не положительны). | 1 |
| Рассмотрение каждого из случаев 1) и 2). | 3 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Восемь чисел 
и 
удовлетворяют соотношениям:
Известно, что 
Найдите 
Докажем, что 
Умножим уравнение (а) исходной системы
на 
и вычтем из него уравнение (б), умноженное на 
В результате получим
Здесь 
Аналогично, из (в) и (г) находим, что
Заметим, что 
так как в противном случае из (3) следовало бы, что 
а значит и 
что противоречит условию задачи. Остается выразить 
и 
из (2) и (3) и подставить полученные выражения в (1). Справедливость соотношения (1) будет тем самым доказана. Далее из уравнения (г) и равенства (1), следует, что 
Ответ: 
Комментарий: система уравнений в задаче – это покомпонентная запись матричного равенства:
Хорошо известно, что если произведение двух матриц равно единичной, то такие матрицы коммутируют, а значит система уравнений в задаче останется справедливой, если в ней все ai заменить на bi и наоборот. Из этого наблюдения равенство (1) следует немедленно.
Целые числа a, b, c и d удовлетворяют неравенствам
a + b + c < 48,
b + c − d > 20,
a + c + d > 36.
Какое наименьшее значение может принимать число c?
Из условия задачи следует, что
Складывая второе и третье неравенства, получим
Вычитая из последнего неравенства первое, получим
Таким образом, число c не может быть больше 11. С другой стороны, четверка чисел (26, 10, 11, 0) удовлетворяет исходным неравенствам.
Ответ: 11.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или имеются недочет/недочеты. | ± | 8 |
| Найдена верная оценка для искомого числа. Не показано достижимость найденной оценки. | +/2 | 6 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Решите систему уравнений:
Введем замену переменной 
Тогда система примет вид
Преобразуем систему к виду:
Сделаем замену переменных 
Тогда система примет вид:
Перемножим уравнения системы и получим 
откуда получаем, что 
Используя последнее равенство, получим, что система в итоге имеет два решения:
Тогда
Следовательно,
В итоге получаем два решения системы
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 6алл.
Решите систему уравнений:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 627.
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Решить систему уравнений:
Из третьего уравнения системы находим 
откуда 
Следовательно, 
либо 
1) Пусть 
тогда и первое, и второе уравнения сводятся к равенству 
Следовательно, 
либо 
Таким образом, решениями являются всевозможные тройки чисел вида
2) Пусть 
Вычитая из второго уравнения исходной системы удвоенное первое, подучим 
Так как то 
Учитывая условие 
После чего из первого или второго уравнения исходной системы находим 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решить систему уравнений:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 642.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Функция f удовлетворяет равенству
для каждого значения x, не равного 0 и 1. Найдите 
Подставим в исходное равенство 
вместо x. Получим вместе с исходным равенством систему линейных уравнений относительно 
и 
Решая полученную систему, находим 
Следовательно,
Ответ: 2019.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Функция f удовлетворяет равенству
для каждого значения x, не равного 0 и 1. Найдите 
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 660.
Ответ: 2019.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите, чему может быть равно x + y, если известно, что 
и 
Обозначим 
и 
Тогда исходные уравнения превратятся в 
и 
Сложив эти уравнения, получаем
Вторая скобка всегда положительна, значит, первая равна нулю, откуда 
Ответ: 4.
Найдите, чему может быть равно x + y, если известно, что 
и 
Обозначим 
и 
Тогда исходные уравнения превратятся в 
и 
Сложив эти уравнения, получаем
Вторая скобка всегда положительна, значит, первая равна нулю, откуда 
Ответ: −4.
Решите систему уравнений
Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:
Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:
Записываем второе уравнение в виде
и решаем его как квадратное относительно переменной x:
Значит, 
или 
Далее возможны четыре случая.
а) Решим систему:
Точка (0; 0) не удовлетворяет ОДЗ.
б) Решим систему:
в) Решим систему:
Точка (0; 0) не удовлетворяет ОДЗ.
г) Решим систему:
Точка
не удовлетворяет ОДЗ.
Объединяя результаты, получаем итоговый ответ:
Ответ: 
Первое уравнение разложено на множители — 2 балла.
Второе уравнение разложено на множители — 1 балл.
Не учтено ОДЗ — снять 1 балл.
Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих системе неравенств
Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Пусть 
и 
В силу того, что выпукла вниз, а 
— и могут иметь не более двух общих точек. Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно,
На промежутке 
график лежит ниже графика 
Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).
Заметим, что на отрезке [7; 69] графики функций и лежат выше оси Оx. Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [7; 69], вычтем количество 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [7; 69]. При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе — нет.
Найдём 
Так как на отрезке [7; 69] лежат 
целочисленные точки, то
Найдём 
Имеем:
Искомое количество равно
Ответ: 
Найдены координаты точек пересечения графиков — 2 балла (по одному баллу за каждую точку).
Выпуклость вниз графика показательной функции и количество точек пересечения графиков обосновывать не обязательно.
Количество точек посчитано, но результат не представлен в требуемом виде — 2 балла.
При подсчёте неверно учтены граничные точки — снять 1 балл.
Решите систему уравнений
Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:
Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:
Записываем второе уравнение в виде
и решаем его как квадратное относительно переменной x:
Значит, 
или 
Далее возможны четыре случая.
а) Решим систему:
Точка (0; 0) не удовлетворяет ОДЗ.
б) Решим систему:
в) Решим систему:
Точка (0; 0) не удовлетворяет ОДЗ.
г) Решим систему:
Точка
не удовлетворяет ОДЗ.
Объединяя результаты, получаем итоговый ответ:
Ответ: 
Первое уравнение разложено на множители — 2 балла.
Второе уравнение разложено на множители — 1 балл.
Не учтено ОДЗ — снять 1 балл.
Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих системе неравенств
Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Пусть 
и 
В силу того, что выпукла вниз, а — и могут иметь не более двух общих точек. Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно,
На промежутке 
график лежит ниже графика Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).
Заметим, что на отрезке [5; 84] графики функций и лежат выше оси Оx. Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [5; 84], вычтем количество целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [5; 84]. При этом мы учтём, что второе неравенство системы строгое, а первое — нет.
Найдём Так как на отрезке [5; 84] лежат целочисленные точки, то
Найдём Имеем:
Искомое количество равно
Ответ: 
Найдены координаты точек пересечения графиков — 2 балла (по одному баллу за каждую точку).
Выпуклость вниз графика показательной функции и количество точек пересечения графиков обосновывать не обязательно.
Количество точек посчитано, но результат не представлен в требуемом виде — 2 балла.
При подсчёте неверно учтены граничные точки — снять 1 балл.
Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге в точках 
Рассмотрим уравнение системы. При 
и 
оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 5 с центром в точке (3; 4) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на (−x) и/или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — т. е. система имеет два решения (0; 0) и (6; 0).
Ответ: (0; 0) и (6; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем квадрат K с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок).
Рассмотрим уравнение системы. При и оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 13 с центром в точке (5; 12) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на 
и/ или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0 ; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — то есть система имеет два решения (0; 0) и (−10; 0).
Ответ: (0; 0) и (−10; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Наверх