Всего: 41 1–20 | 21–40 | 41–41
Добавить в вариант
а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Решение стандартно, геометрическая интерпретация — на рисунке.
Ответ: 
б) После разложения на множители получаем, что
или 
откуда 
при 
Осталось определить те решения, которые попадают в указанный отрезок, для чего удобно рассмотреть график функции 
при 
(см. рисунок).
Ответ: 
при любых a, 
при 
при 
в) Так как
то 
Это уравнение имеет очевидное решение 
осталось доказать, что других решений у него нет. Заметим, что в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции, поэтому прямая ссылка на монотонность недоказательна, однако ясно (доказательство — далее), что 
«растет быстрее», чем 
Действительно,
при 
значит, функция 
возрастает на 
и более одного нуля не имеет. Если 
Ответ: 1.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любых a, при при 1.а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Преобразуем неравенство 
т. е. 
При 
получаем неравенство 
или 
У многочлена в левой части есть корень поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Оба множителя неотрицательны при 
поэтому подходит только 
При 
получаем неравенство 
то есть 
или 
Второй множитель всегда положителен, значит, 
Окончательно 
Ответ:
б) Преобразуем уравнение
Второй множитель дает
Если же нулю равен первый множитель, то
Функция 
на отрезке 
убывает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
а на промежутке 
возрастает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
Теперь можно написать ответ. При 
и при 
решений нет. При 
получим 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет два корня, а именно 
и 
откуда 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет один корень, а 
Осталось добавить корень 
везде, где его еще нет и можно написать окончательный ответ. При одно решение При одно решение При три решения 
и При 
два решения
(не сошлось с ответом, стоит проверить!)
Ответ: 
при любом b, 
при 
при 
в) Преобразуем уравнение 
или 
Поделив на 
получим 
откуда 
Функция в левой части уравнения возрастает, а в правой — убывает, поэтому их графики пересекутся не более одного раза. Один корень можно угадать, это
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любом b, при при а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в?
а) Поскольку 
касательная в точке 
имеет уравнение 
то есть 
Если эта прямая проходит через начало координат, то 
откуда 
и уравнение касательной имеет вид 
Ответ: 
б) Если 
то 
—
поэтому графики 
и обязательно пересекутся где-то в области 
Если 
то корней очевидно нет. Пусть теперь 
Функция является выпуклой вниз (ее вторая производная 
), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При 
имеем 
поэтому там пересечений не будет. Окончательно 
Ответ: 
в) Запишем уравнение в виде 
Ясно, что 
не было корнем исходного уравнения. Тогда
Исследуем теперь функцию в левой части. При 
она примет вид 
поэтому
что положительно при 
и отрицательно при 
значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
(мы использовали правило Лопиталя) и
Итак, функция принимает все значения из промежутка 
при и принимает все значения из промежутка 
при 
В частности 
поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же
то 
то есть функция 
нечетна. Значит, она при принимает значение 
столько же раз, сколько при принимает значение 
Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках 
Ответ: три решения.
г) Пусть 
—
Имеем 
отсюда ясно, что 
тогда 
Если 
то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен 
а должен быть единицей, откуда 
и 
—
то аналогично можно записать уравнение в виде 
откуда ясно, что 
(а значит 
).
Итак, либо x натуральное число, либо 
где b — натуральное. Ясно что 
подходит в уравнение. Это корень, лежавший на 
На 
есть всего два натуральных числа 
и 
они корнями не являются.
Наконец пусть 
и уравнение 
принимает вид 
что невозможно, поскольку 
тоже иррациональный. Итого один рациональный корень.
Ответ: одно решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно решение Решите неравенство 
Логарифмируя обе части неравенства по основанию 2, получаем:
Решая последнее неравенство методом интервалов, находим, что
Ответ: 
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
Неравенство сведено к дробно-рациональному — 2 балла.
Неравенство преобразовано к виду 
где P(x), Q(x), R(x) — линейные функции переменной (или к виду 
где R(x) — линейная функция, G(x) — квадратичная функция и при этом найдены нули G(x)) — 2 балла.
Границы промежутков указаны в ответе в неупрощённой форме — снять 1 балл.
Точки расположены на числовой прямой в неправильном порядке — снять 1 балл.
Угадано целое значение x, при котором неравенство обращается в равенство — баллы не добавляются.
Решите неравенство 
Логарифмируя обе части неравенства по основанию 3, получаем:
Решая последнее неравенство методом интервалов, находим, что
Ответ: 
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
Неравенство сведено к дробно-рациональному — 2 балла.
Неравенство преобразовано к виду где P(x), Q(x), R(x) — линейные функции переменной (или к виду где R(x) — линейная функция, G(x) — квадратичная функция и при этом найдены нули G(x)) — 2 балла.
Границы промежутков указаны в ответе в неупрощённой форме — снять 1 балл.
Точки расположены на числовой прямой в неправильном порядке — снять 1 балл.
Угадано целое значение x, при котором неравенство обращается в равенство — баллы не добавляются.
Решите неравенство
Основание степени положительно при всех x, поэтому данное неравенство равносильно следующему:
откуда с помощью метода интервалов находим, что
Ответ: 
Не указано, что основание степени положительно — баллы не снимать.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
За рассмотрение каждого из случаев (основание степени > 1, основание степени < 1, основание степени равно 1) — 2 балла.
При ином способе решения:
а) неравенство сведено к алгебраическому — 2 балла;
б) получено разложение на множители — 1 балл;
в) при решении методом интервалов потеряна изолированная точка — снять 2 балла.
Решите неравенство
Основание степени положительно при всех x, поэтому данное неравенство равносильно следующему:
откуда с помощью метода интервалов находим, что
Ответ: 
Не указано, что основание степени положительно — баллы не снимать.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
За рассмотрение каждого из случаев (основание степени > 1, основание степени < 1, основание степени равно 1) — 2 балла.
При ином способе решения:
а) неравенство сведено к алгебраическому — 2 балла;
б) получено разложение на множители — 1 балл;
в) при решении методом интервалов потеряна изолированная точка — снять 2 балла.
Найдите все такие пары действительных чисел x и y, для которых
Заметим, что
(неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим). Правая часть равна
Таким образом, в задаче нужно найти x и y, при которых неравенство обращается в равенство. Для этого необходимо выполнение следующих условий:
Они выполняются при 
(и только в этом случае), что даёт четыре варианта ответа для x и y.
Ответ: 
Вычислить 
где x — корень уравнения
Варианты ответов:
| а | б | в | г | д |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Сначала решим уравнение, используя свойства показательной функции.
Тогда 
Ответ: 4.
Решите уравнение: 
Преобразуем исходное выражение:
Пусть 
тогда 
отсюда
где второй корень является посторонним. Значит, 
или 
Ответ: {0}.
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решите уравнение 
Преобразуем исходное выражение:
Пусть 
тогда
где второй корень является посторонним. Значит, 
тот есть 
или 
Ответ: {2}.
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить уравнение 
Преобразуем исходное выражение:
отсюда
Проверка:
Ответ:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить уравнение 
Преобразуем исходное выражение:
отсюда
следовательно,
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить уравнение 
Преобразуем исходное выражение:
отсюда
следовательно,
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить уравнение 
Преобразуем исходное выражение:
отсюда
где второй корень является посторонним, следовательно, 
Ответ: {−1}.
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить неравенство 
Запишем ОДЗ: 
Упростим исходное неравенство:
Пусть 
тогда
где второй корень является посторонним, следовательно, t
а значит, 
или 
Ответ: 
Решить неравенство 
Запишем ОДЗ: Пусть 
тогда
следовательно, 
и 
Ответ: 
Решить неравенство 
Запишем ОДЗ: Преобразуем исходное выражение:
Пусть 
тогда
где первый корень является посторонним, так как 
следовательно, 
то есть 
Ответ: 
Решить неравенство 
Запишем ОДЗ: Пусть 
тогда
второй корень не соответствует 
следовательно, 
или 
Ответ: 
Решить неравенство 
Запишем ОДЗ:
Пусть тогда 
следовательно, 
тогда 
или 
Ответ: 
Наверх