РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Тип 0 № 1458 Добавить в вариант

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + рациональные выражения, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Сколько решений имеет уравнение

$дробь: числитель: косинус в кубе 18 градусов, знаменатель: косинус x конец дроби плюс дробь: числитель: синус в кубе 18 градусов, знаменатель: синус x конец дроби =1$

в промежутке [0°; 2018°]?

Решение.

Освободим уравнение от знаменателей, одновременно приведя его к однородному путем замены 1 выражением $синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Будем иметь:

$косинус в кубе 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс синус в кубе 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x=0 .$ $косинус в кубе 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс синус в кубе 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус$
$минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x=0 .$

Чтобы можно было применить хотя бы к первым членам этого равенства формулу синуса суммы, нужно, чтобы $синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ входили в первых степенях. Для этого заменим

$косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =1 минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =1 минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Получим:

$косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x минус косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус$
$минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x.$ $косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x минус косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс$
$плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус$
$минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x.$

Как видим, первый и третий члены дают $синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ а второй и четвертый:

$минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Итак, имеем

$синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x=0 .$ $синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x=0 .$

Для преобразования последних двух членов прибавим к ним равное нулю выражение

$синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x минус косинус в квадрате x правая круглая скобка ,$

раскрыв в нем предварительно скобки. Получим:

$минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус в квадрате x минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус в квадрате x=$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x правая круглая скобка =$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус в квадрате x минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус в квадрате x=$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x правая круглая скобка =$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Возвращаемся к уравнению:

$синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка левая квадратная скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая квадратная скобка =0.$ $синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка левая квадратная скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая квадратная скобка =$
$=0.$

И, наконец, окончательно

$левая квадратная скобка 1 минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка правая квадратная скобка левая квадратная скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая квадратная скобка =0 .$

Теперь уже уравнение решается легко. Первый множитель дает:

$косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =1 равносильно x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =2 k Пи равносильно x=2 k Пи плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Из второго находим:

$синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Отсюда

$x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =k Пи минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно x=k Пи минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =k Пи минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно x=k Пи минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 17.

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 0 № 5657 Добавить в вариант

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + рациональные выражения, Методы алгебры. Замена переменной

Решить уравнение: $дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби = дробь: числитель: 35, знаменатель: 12 конец дроби .$

Решение.

Пусть $синус x=a,$ $косинус x=b,$ тогда имеем систему уравнений

$система выражений a в квадрате плюс b в квадрате =1, 12 a плюс 12 b=35 a b, конец системы .$

или, вводя обозначения $u=a плюс b,$ $v=a b,$ получаем систему уравнений

$система выражений u в квадрате минус 2 v=1, 12 u=35 v, конец системы .$

откуда получаем два решения $u= дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $v= дробь: числитель: 12, знаменатель: 25 конец дроби$ или $u= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби ,$ $v= минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 49 конец дроби .$

Из первых двух равенств следует, что

$система выражений синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби конец системы .$

или

$система выражений синус x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , конец системы .$

откуда получаем, что $x= арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,$ $n принадлежит Z ,$ или $x= арктангенс дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m,$ $m принадлежит Z .$

Из вторых двух равенств следует, что

$система выражений синус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента плюс 5, знаменатель: 14 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента минус 5, знаменатель: 14 конец дроби конец системы .$ или $система выражений синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента минус 5, знаменатель: 14 конец дроби , косинус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента плюс 5, знаменатель: 14 конец дроби , конец системы .$

откуда получаем, что

$x= минус арктангенс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента плюс 5, знаменатель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента минус 5 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ,$

или

$x= Пи минус арктангенс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента минус 5, знаменатель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента плюс 5 конец дроби плюс 2 Пи l, l принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,; арктангенс дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m; минус арктангенс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента плюс 5, знаменатель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента минус 5 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи минус арктангенс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента минус 5, знаменатель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента плюс 5 конец дроби плюс 2 Пи l : n, m, k, l принадлежит Z правая фигурная скобка .$

РешениеСпрятать решение · Помощь