Всего: 8 1–8
Добавить в вариант
Решите уравнение 
в котором [α] означает целую часть числа α.
Целое число 
может принимать только значения 0 и 
а) Если 
то 
Следовательно, 
откуда 
Решением этого уравнения являются 
Заметим, что 
при таких x.
б) Если 
то 
Но 
следовательно, 
Поэтому уравнение 
не имеет решений.
в) Если 
то 
При этих значениях 
При подстановке в уравнение это дает 
чего не может быть.
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Решите уравнение 
Левая часть уравнения при помощи введения вспомогательного угла приводится к виду 
Значит, она не превосходит 5. Для правой части в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (для положительных чисел) будем иметь:
Ответ: нет корней.
Каждая из четырёх задач данной олимпиады оценивается, исходя из максимума в 25 баллов. Таким образом, максимальный результат участника может быть 100 баллов. Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
| Символы-баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +25 | Полное верное решение |
| +20 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
| ±16 | Решение в целом верное, но содержит мелкие ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений. |
| +/2 13 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основанная оценка. |
| ±10 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. |
| −5 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения. |
| 0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал). |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 13 баллов. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком-стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ 
будет соответствовать 17 баллам.
Найти количество корней уравнения
принадлежащих отрезку 
Запишем ОД3:
Выполним преобразования:
Пусть 
при 
Тогда уравнение примет вид
Корень 
не подходит, так как Тогда,
Переведем радианы в градусы:
Тогда, промежутку 
учитывая ОД3, принадлежат корни: 90°, 450°, 810°, 1170°, 1530°, 1850°, 2250°, то есть промежутку 
принадлежит 7 корней.
Ответ: 7.
Решите уравнение:
Пусть 
при 
Тогда
1) Если 
то 
чтобы 
2) Если 
то 
или 
при чтобы
при 
Ответ: 
Укажите, при каких значениях параметра a уравнение имеет решение:
Для упрощения исследования введем
при 
уравнение примет вид:
откуда следует:
то есть
Данное уравнение может иметь решение при
но не все значения параметра a, удовлетворяющие этому ограничению, подходят, поскольку
и, следовательно,
Заметим, что 
следовательно,
Выделяя 
на тригонометрическом круге (см. рисунок), видим, что при
имеем 
Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если
Ответ: 
При каких значениях
Сделаем замену переменных: 
и 
Уравнение можно преобразовать к виду:
Теперь введем переменную t: 
Тогда правая часть уравнения может выть преобразована к виду:
Функция g(t) при отрицательных значениях аргумента отрицательна, а при положительных ее можно представить в виде:
из которого ясно, что функция принимает максимальное значение, когда знаменатель положителен и минимален. Это произойдет при 
то есть при 
При этом максимальное значение правой части уравнения будет равно 3. Левая часть уравнения
всегда больше или равна 3 и достигает минимального значения при 
Отсюда можно найти значения переменной x:
которые претендуют на то, чтобы быть корнями исходного уравнения. Значения переменной x у левой и правой части должны совпадать, поэтому решения будут при таких значениях n, при которых выполнится хотя бы одно из условий:
В обоих случаях получаются линейные диофантовы уравнения, которые решаются представлением k через классы делимости на 7 с остатком 
Первое из этих уравнений относительно переменной n сводится к уравнению 
которое на заданном промежутке натуральных чисел имеет единственное решение 
Второе уравнение сводится к уравнению: 
которое имеет единственное решение 
Ответ: {6, 9}.
Решите уравнение 
Функции y = 2t и y = 3t — возрастающие, следовательно, выражение 
имеет такой же знак, как и 
а выражение 
имеет такой же знак, как и 
Таким образом, слагаемые в левой части уравнения — одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю. Имеем
Решая эти уравнения, получаем ответ.
Ответ: 
| Полностью обоснованное верное решение | 12 баллов |
| Участник без обоснования приравнял к нулю каждое слагаемое и получил верный ответ | 4 балла |
Решите уравнение 
Функции y = 2t и y = 5t — возрастающие, следовательно, выражение 
имеет такой же знак, как и x3 − 3, а выражение 
имеет такой же знак, как и 
Таким образом, слагаемые в левой части уравнения — одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю. Получаем
Решая эти уравнения, получаем ответ.
Ответ: 
| Полностью обоснованное верное решение | 12 баллов |
| Участник без обоснования приравнял к нулю каждое слагаемое и получил верный ответ | 4 балла |
Наверх