Всего: 9 1–9
Добавить в вариант
Решить уравнение
В ответе записать 
Варианты ответов:
| а | б | в | г | д |
 |  |  | 0 |  |
Выпишем область допустимых значений:
Преобразуем исходное уравнение:
Первое уравнение имеет корень 
— не удовлетворяет ОДЗ. Корнем второго является 
то есть 
Выберем из множества решений 
такие, что 
Получаем единственный корень 
Ответ: 
Вычислить:
Вычислим:
Ответ: 0.
Найдите все решения неравенства:
Область определена входящих в неравенство функций: 
При этих значениях x, во-первых, модули раскрываются однозначно, во-вторых, входящие в неравенство косинусы — монотонно возрастающие функции, так как их аргументы находятся в интервале 
Кроме того, 
монотонно убывает. Поэтому исходное неравенство на области определения равносильно:
Ответ: 
Верное решение и верный ответ — 15 баллов.
Идейно верное решение, но ответ отличается от правильного на одну точку — 10 баллов.
Найдите сумму корней уравнения
Запишем ОДЗ:
найдем корни неравенства
Тогда ОДЗ: 
Далее решение сводится к решению двух уравнений: 
и 
1) Решим первое уравнение:
где 
—
Тогда
Далее ищем решения, входящие в промежуток Значит,
а) при 
получаем 
и 
б) при 
получаем 
и 
в) при 
получаем 
и 
2) Решим второе уравнение:
Таким образом, получим четыре решения: 
1; 1,5. Их сумма
Ответ: 4,5.
Найдите сумму корней уравнения
Запишем ОД3:
Таким образом, 
Далее решение сводится к решению двух уравнений:
Решим первое уравнение:
Где 
—
Тогда
Определим корни уравнения, входящие в промежуток 
при разных значениях n. Тогда:
1) при 
2) при 
3) при 
4) при 
Решим второе уравнение: 
Отсюда
Таким образом, получим 4 корня:
их сумма
Ответ: 6.
Найдите хотя бы один корень уравнения
меньший, чем 
Обозначим 
Тогда уравнение перепишется в виде
Очевидно, что числа 
являются корнями этого уравнения. Тогда все числа 
будут решениями исходного уравнения.
Для того, чтобы 
достаточно чтобы было выполнено
Отсюда 
и 
Это неравенство имеет место для всех целых 
Ответ: 
При каких значениях
Сделаем замену переменных: 
и 
Уравнение можно преобразовать к виду:
Теперь введем переменную t: 
Тогда правая часть уравнения может выть преобразована к виду:
Функция g(t) при отрицательных значениях аргумента отрицательна, а при положительных ее можно представить в виде:
из которого ясно, что функция принимает максимальное значение, когда знаменатель положителен и минимален. Это произойдет при 
то есть при 
При этом максимальное значение правой части уравнения будет равно 3. Левая часть уравнения
всегда больше или равна 3 и достигает минимального значения при 
Отсюда можно найти значения переменной x:
которые претендуют на то, чтобы быть корнями исходного уравнения. Значения переменной x у левой и правой части должны совпадать, поэтому решения будут при таких значениях n, при которых выполнится хотя бы одно из условий:
В обоих случаях получаются линейные диофантовы уравнения, которые решаются представлением k через классы делимости на 7 с остатком 
Первое из этих уравнений относительно переменной n сводится к уравнению 
которое на заданном промежутке натуральных чисел имеет единственное решение 
Второе уравнение сводится к уравнению: 
которое имеет единственное решение 
Ответ: {6, 9}.
Найдите все натуральные значения n, при которых
и 
В ответ запишите сумму полученных значений n.
Преобразуем исходное выражение:
где 
и 
следовательно, 
или 
Поскольку 
Решим неравенство
где 
тогда 
то есть 
где 
и 
значит, 
Итого, 
откуда 
Ответ: 644.
Решить уравнение
Положим 
и 
Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем
Далее, аналогично, 
и 
После этого исходное уравнение запишется так: 
Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем
Поэтому решениями преобразованного уравнения являются все значения u и v, удовлетворяющие хотя бы одному из равенств u = 1, или v = 1, или uv = 1 при условии (это относится только к первым двум равенствам) 
Возвращаясь к исходному уравнению отсюда следует, что с учётом области определения, его решениями являются решения совокупности
Эта совокупность на области определения эквивалентна совокупности уравнений
Областью определения функций, входящих в исходное уравнение, являются значения x, при которых 
Рассмотрим первое уравнение совокупности:
Это уравнение на области определения решений не имеет.
Рассмотрим второе уравнение совокупности:
Решения уравнения 
в область определения не входят. Решениями уравнения 
являются 
k целое, то есть 
При k кратном 5 такие x принадлежат области определения, при остальных значениях k нет.
Рассмотрим третье уравнение совокупности:
Решения уравнения 
в область определения не входят. Если 
то 
поэтому решения уравнения 
в область определения также не входят.
Ответ: 
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Верный ответ без обоснования | 0 |
| Представил левую и правую части в виде суммы трех взаимно обратных величин или провел какие-то верные логарифмические преобразования или верно нашел ОДЗ | 0,5 |
| Выразил одну из величин через две другие и получил правильное разложение на множители | 1,0 |
| Верно решил тригонометрию | 1,5 |
| Отобрал корни по ОДЗ | 2,0 |
Наверх