Всего: 25 1–20 | 21–25
Добавить в вариант
а) В прямоугольнике ABCD 
Точки E и F делят сторону BC на три равные части. Докажите, что
б) Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению
в) Вычислите сумму
а) Нетрудно видеть, что данное равенство равносильно тому, что
которое верно, поскольку
б) Искомое множество есть объединение биссектрис координатных углов, 
Ясно, что точки, для которых 
удовлетворяют данному уравнению. Для того, чтобы показать, что других точек нет, найдем значения тангенса каждой из частей данного уравнения. Имеем
откуда следует, что 
или 
в) Поскольку
Теперь нетрудно догадаться и доказать по индукции, что сумма первых n слагаемых в данной бесконечной сумме равна 
при 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Найдите значение выражения
С помощью формул приведения
данное выражение можно переписать в виде
Далее заметим, что
Тогда получаем
Ответ: 
Использована формула 
— 1 балл.
Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.
Найдите значение выражения
С помощью формул приведения данное выражение можно переписать в виде
Далее заметим, что
Тогда получаем
Ответ:
Использована формула — 1 балл.
Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.
Найдите значение выражения 
Вычислим:
Ответ: 
Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.
Найдите значение выражения 
Вычислим:
Ответ:
Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.
Вычислите значение выражения 
Запишите полученное выражение в виде 
где a и b — целые, взаимно простые числа и укажите в ответе значение |a − b|.
Так как
то 
Значит,
После вычислений получаем 
откуда следует, что 
Значит, 
и 
Заметим, что возможна также запись ответа в виде 
но модуль разности остаётся тем же.
Ответ: 7.
Вычислите значение выражения 
Запишите полученное выражение в виде где a и b — целые, взаимно простые числа и укажите в ответе значение |a − b|.
Финансовый аналитик энергетической компании после сложных расчетов с применением математических методов вычислил, что прибыль компании за 2016 год составила S миллионов рублей, где
Совет директоров не удовлетворился этими сведениями и попросил аналитика указать не формулу вычисления S, а результат, то есть конкретное число. Через 11 минут число S было получено. Каково оно?
Заметим, что 
и выполним преобразования:
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Верно ли равенство 
Так как 
то, разделив обе части данного неравенства на его правую часть, мы можем переписать его в виде
или 
где
Для удобства дифференцирования этой функции положим: 
и
Тогда
и
Следовательно, 
—
при 
то есть 
возрастает 
а f(x) возрастает на 
B частности, 
то есть исходное неравенство неверно.
Ответ: нет, неверно.
Вычислить значение выражения A, если
Пусть: 
при 
и 
при 
и 
Следовательно,
Тогда,
Отсюда
Следовательно, 
то есть 
и все выражение равно
Ответ: 
Вычислить значение выражения A, если
Пусть: 
при 
и 
при 
и 
Следовательно,
Тогда,
Отсюда
Так как 
и
то, следовательно,
и все выражение равно
Ответ:
Вычислите
Из формулы
выразим произведение тангенсов:
Тогда
Складывая эти равенства для всех k от 1 до 2019 получаем, что выражение из условия равно
Заметим, что
а значит (*) равняется −2021.
Ответ: −2021.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Вычислите
Из формулы
выразим произведение тангенсов:
Тогда
Складывая эти равенства для всех k от 1 до 2021 получаем, что выражение из условия равно
Заметим, что
а значит (*) равняется −2021.
Ответ: −2021.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Сравните числа 
и 
Заметим, что 
поэтому нам достаточно сравнить числа 
и 
Заметим, что числа 
и 
одного знака, поэтому мы можем умножить оба числа на положительное число 
Осталось сравнить числа
и
Или, после преобразований, 
и 
Поскольку на промежутке 
косинус убывает, получаем, 
то есть второе выражение исходно было больше.
Ответ: второе выражение больше.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
Комментарий по оцениванию данной задачи
Неравенство умножается на величину, про знак которой не доказано, что он положителен — не выше «∓».
В решении используются неверные тригонометрические тождества — «−».
В решении используется неверное рассуждение, что 
(или 
в зависимости от варианта) можно заменить на числа 
и сравнить 
и 
— не выше «∓».
Сравните числа 
и 
Заметим, что поэтому нам достаточно сравнить числа
и 
Заметим, что числа 
и 
одного знака, поэтому мы можем умножить оба числа на положительное число 
Осталось сравнить числа
и
Или, после преобразований, и Поскольку на промежутке 
косинус убывает, получаем, то есть второе выражение исходно было больше.
Ответ: второе выражение больше.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач - задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
Комментарий по оцениванию данной задачи
Неравенство умножается на величину, про знак которой не доказано, что он положителен — не выше «∓».
В решении используются неверные тригонометрические тождества — «−».
В решении используется неверное рассуждение, что (или 
в зависимости от варианта) можно заменить на числа и сравнить и — не выше «∓».
Вычислите 
Обозначим 
через α, 
через β. Заметим, что 
тогда
откуда 
также 
где 
Находим:
Наконец, поскольку 
и 
то 
Значит, 
Ответ: π.
Приведем другое решение.
Отметим на координатной плоскости точки
Поскольку угловой коэффициент прямой OB равняется 
а прямой 
получаем, что 
B треугольнике OAB: 
значит, 
В треугольнике OBC: 
значит, 
В треугольнике OCD: 
значит, 
Таким образом,
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Используются неверные основные тригонометрические формулы — не выше «∓».
Вместо одного числа получен ответ типа 
и т. п. — не выше «∓».
Вычислите 
Обозначим 
через α и 
через β. Заметим, что 
a
откуда 
также 
Находим:
Наконец, поскольку и 
то 
Значит,
Ответ: π.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Используются неверные основные тригонометрические формулы — не выше «∓».
Вместо одного числа получен ответ типа и т. п. — не выше «∓».
Вычислите 
Обозначим 
через 
через 
Заметим, что
а 
откуда 
также 
Находим:
то 
Ответ: 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Используются неверные основные тригонометрические формулы — не выше «∓».
Вместо одного числа получен ответ типа 
и т. п. — не выше «∓».
Вычислите 
Обозначим 
через 
через Заметим, что
а 
откуда 
также 
Находим:
то 
Значит,
Ответ:
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Используются неверные основные тригонометрические формулы — не выше «∓».
Вместо одного числа получен ответ типа и т. п. — не выше «∓».
Запишите точное значение для 
не используя обозначений тригонометрических функций.
Имеем:
Кстати, отсюда, используя непрерывность функции косинус, можно получить, что последовательность
(n квадратных корней)
стремится к 2.
Ответ: 
Наверх