Один двоечник нaписaл следующие неверные формулы синусa и косинусa суммы: и В свое опрaвдaние он скaзaл, что при некоторых и его формулы всё же верны. Нaйдите все тaкие пaры
Решение.
Составим систему:
Из первого равенства следует, что
Отсюда
где В первом случае Таким образом, фор мула «косинуса суммы» превращается в откуда и, соответственно, где
Во втором случае мы получаем либо или где Тогда второе равенство превращается в или ан алогичное равенство для β, что невозможно. Значит, остаётся только первый случай.
Один двоечник написал следующие неверные формулы синуса и косинуса суммы: и В свое оправдание он сказал, что при некоторых и его формулы всё же верны. Найдите все такие пары
Решение.
Составим систему:
Из первого равенств а следует, что
Отсюда
где В первом случае Таким образом, формула «косинуса суммы» превращается в что невозможно.
Во втором случае мы получаем либо или где Тогда второе равенство превращается в что невозможно, или откуда
Найдите все возможные значения выражения если известно, что их не менее трёх.
Решение.
Решение. Перемножая два данных равенства, получаем
что на ОДЗ равносильно следующему:
В первом случае получаем, что откуда мгновенно следует, что
Во втором случае Вводя дополнительный угол, можем преобразовать числитель дроби в левой части первого уравнения:
Подставляем сюда выражение для x и получаем
Первое уравнение при этом принимает вид
Отсюда может принимать значения Значит,
Так как в условии задано, что выражение может принимать по крайней мере 3 различных значения, все три полученных случая возможны. Замечание. Несложно убедиться в том, что все 3 случая реализуются. В первом случае получаем систему
Очевидно, у первого уравнения есть решения (котангенс принимает любые значения), а, значит, есть решения и у системы.
Во втором случае подставим x не только в левую часть первого уравнения, но и в правую:
Несложно видеть, что это уравнение имеет решения при любых целых k, поэтому оба значения могут приниматься.
Ответ: −1, или
Критерии проверки:
Получено равенство синуса и косинуса (как в решении) — 2 балла.
Разобран случай, приводящий к ответу 1 или −1 — 1 балл.
Разобран другой случай — 3 балла.
Внимание! В решении НЕ требуется доказывать, что случаи реализуются. За отсутствие доказательства баллы не снимаются.
Найдите все возможные значения если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
Решение.
Преобразуя в левой части второго равенства сумму синусов в произведение, получаем Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства:
Отсюда следует, что исходные равенства эквивалентны совокупности двух систем уравнений:
Из первой системы получаем
Далее имеем
В первом случае не существует, а во втором случае
и 
В свое опрaвдaние он скaзaл, что при некоторых 
и 
его формулы всё же верны. Нaйдите все тaкие пaры 
В первом случае 
Таким образом, фор мула «косинуса суммы» превращается в 
откуда 
и, соответственно, 
где 
или 
где 
Тогда второе равенство превращается в 
или ан алогичное равенство для β, что невозможно. Значит, остаётся только первый случай.
что невозможно.
или 
где 
Тогда второе равенство превращается в 
что невозможно, или 
откуда 
если известно, что их не менее трёх.
принимать значения 
Значит, 
или 
могут приниматься.
и 
откуда мгновенно следует, что 
Вводя дополнительный угол, можем преобразовать числитель дроби в левой части первого уравнения: 
Значит, 
может принимать по крайней мере 3 различных значения, все три полученных случая возможны. Замечание. Несложно убедиться в том, что все 3 случая реализуются. В первом случае получаем систему 
или 
и 
Найдите 
вместо 
и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу 
где 
Найдите 
или 
Оба варианта подходят (т. к. знаменатели не обращаются в ноль). Следовательно, 
(билеты 29, 31) или 
(билеты 30, 32) — 1 балл.
(билеты 29, 31) 
(билеты 30, 32) — 1 балл.
Найдите 
или 
Оба варианта подходят (т. к. знаменатели не обращаются в ноль). Следовательно, 
если 
и 
и 
Найдите 
Найдите 
если 
given that 
если известно, что 
и 
и 
находим 
и 
и 
и 
Выразите 
через c и s.
Осталось применить формулу универсальной подстановки 
через c и s.
если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства: 
или 
—
—
и 
находим 
