Всего: 23 1–20 | 21–23
Добавить в вариант
Найдите наименьшее значение выражения 
I способ. Добавим и вычтем 
Получаем выражение
Очевидно, это выражение имеет минимум, равный −4.
Ответ: −4.
II способ. Чтобы найти наименьшее значение, можно взять производные от этого выражения по x и по y и найти точку, где обе эти производные равны нулю. Производная по x равна нулю, когда 
Производная по y равна 
Она равна нулю в двух случаях: когда 
и когда 
После этого необходимо разобраться, в каких из этих точек действительно локальный минимум и почему глобальный минимум существует.
Корректное доказательство этого в тер мин ах производных, к сожалению, выходит за рамки школьной программы, поэтому для учащихся школ это решение может служить скорее вœго только подсказкой к ответу и к решению, изложенному выше.
Найдите наименьшее значение выражения 
I способ. Добавим и вычтем 
Получаем выражение
Очевидно, это выражение имеет минимум, равный −9.
Ответ: −9.
II способ. Чтобы найти наименьшее значение, можно взять производные от этого выражения по x и по y и найти точку, где обе эти производные равны нулю. Производная по x равна нулю, когда 
Производная по y равна
Она равна нулю в двух случаях: когда 
и когда 
После этого необходимо разобраться, в каких из этих точек действительно локальный минимум и почему глобальный минимум существует.
Корректное доказательство этого в тер минах производных, к сожалению, выходит за рамки школьной программы, поэтому для учащихся школ это решение может служить скорее всего только подсказкой к ответу и к решению, изложенному выше.
а) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
для которых при всех x верно неравенство
в) Найдите наибольший радиус круга, лежащего в верхней полуплоскости, касающегося оси абсцисс в начале координат и не имеющего других общих точек с параболой 
г) Докажите, что 
при всех натуральных n.
а) Ясно, что функция 
определена только при 
и при условии 
то есть 
При таких x преобразуем функцию
Обозначим временно 
и решим неравенство 
Метод интервалов дает ответ 
то есть 
Если бы мы строили график 
то он был бы гиперболой с вертикальной асимптотой 
и горизонтальной
Поскольку —
эскиз графика 
(несколько подходящих точек поставлены точно) и результат отражения нижней части графика для получения итогового ответа 
Ответ: см. рис.
б) Перепишем неравенство в виде
Ясно, что 
принимает все значения от −1 до 1 включительно. Тогда наименьшее значение левой части равно 
а знак можно выбрать так, чтобы результат был отрицательным. Итак, требуется чтобы 
И наоборот, выполнения этого неравенства достаточно, чтобы условие
выполнялось всегда. Построим график 
и отметим все точки ниже этого графика.
Ответ: 
(см. рис.).
в) Обозначим центр этого круга за 
—
или 
Эта окружность не должна иметь общих точек с графиком 
кроме точки 
и этого достаточно — ведь тогда весь круг будет лежать внутри параболы. Попробуем найти их общие точки. Подставим в уравнение окружности 
или 
Значит либо 
(это разрешается), либо 
Это уравнение не имеет корней при 
имеет корень при 
и имеет другие корни при 
Поэтому максимальный радиус круга равен 
Ответ:
г) Пусть 
Если 
то 
а при
Осталось заметить, что
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
(см. рис.). а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Найдите наибольшее по абсолютной величине значение выражения 
при 
а) Замена 
приводит к уравнению 
откуда 
Корнями последнего уравнения являются числа 2 и 
Поскольку функция 
возрастающая, а 
то отсюда и следует ответ.
Ответ: 
б) Два решения при 
одно — при 
(см. рис.).
в) Так как
то графики правой и левой частей данного уравнения выглядят так, как показано на рисунке. Строгое доказательство приведено в Дополнении.
Ответ: два корня.
г) Если 
тогда 
отсюда
Ответ: 576.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два корня. 576.Числа 
удовлетворяют условию
Какое наименьшее значение может принимать величина
(А. Храбров)
Заметим, что
Следовательно,
Стало быть, интересующая нас сумма всегда не меньше 2. С другой стороны, если 
и 
то
Числа 
удовлетворяют условию
Какое наименьшее значение может принимать величина
Ответ: наименьшее значение равно 2.
Даны вещественные
Заметим, что при любых a1, ..., an справедливо
Отсюда в силу неравенства Коши
Равенство реализуется при 
Ответ: 
Даны числа 
Найдите максимальное значение выражения
Заметим, что 
при любых 
Применяя неравенство для среднего гармонического и среднего арифметического, мы получим
Равенство реализуется при 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Даны числа 
Найдите максимальное значение выражения
Мы можем считать, что 
и 
поскольку выражение A не меняется при циклической перестановке переменных. Заметим, что
Аргумент синуса из правой части лежит на 
а косинуса — на 
так как 
Рассмотрим два случая.
1) Когда 
Наибольшей правая часть будет при максимально возможном x, то есть при 
и значение A окажется нулевым.
2) Когда 
При фиксированных y и z правая часть достигнет максимума при 
В этом случае
Выражение в правой части увеличивается с ростом y, поэтому его максимум достигается при 
и равен 
Таким образом, 
Равенство реализуется при 
и 
Ответ:
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Даны числа 
Найдите максимальное значение выражения
Воспользуемся неравенством
при 
Тогда с учетом неравенства Коши для средних
откуда 
Равенство реализуется при 
Ответ: 
Приведем друге решение.
Заметим, что для любого t:
В силу неравенства Коши для средних
Применим эту оценку при 
и затем сложим получившиеся неравенства. Тогда
откуда 
Равенство реализуется при
Даны числа 
Найдите максимальное значение выражения
Воспользуемся неравенством
при 
Тогда с учетом неравенства Коши для среднего гармонического и среднего арифметического
Равенство реализуется при
Ответ: 3.
Числа x, y, z — углы треугольника. Найдите максимальное значение выраения
Заметим, что 
Числитель A равен
а знаменатель A равен
Поэтому
так как максимум трехчлена 
равен 
Равенство реализуется при 
Ответ:
Приведем другое решение. Рассмотрим треугольник с углами x, y, z, вписанный в окружность радиуса 
Стороны такого треугольника по теореме синусов равны 
и 
а его удвоенная площадь равна 
Тогда A — радиус вписанной окружности треугольника. Поэтому A не превосходит половины радиуса его описанной окружности, то есть Равенство реализуется на правильном треугольнике.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Числа x, y, z — углы треугольника, причем больший угол z не превосходит 
Найдите максимальное значение выражения
В силу неравенства Коши для средних
Положим
Заметим, что 
Если 
то заменим y на 
При этом увеличатся 
и 
а значит, и B. Поэтому максимум B достигается при 
В этом случае
Таким образом, 
Равенство реализуется при и 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Найдите множество значений функции
Найдем множество значений функции
Функция 
определена на всей числовой оси. Сделаем замену переменного. Пусть 
Тогда
при 
и 
Функция 
принимает все значения из промежутка 
Множество значений функции f(x) совпадает с множеством значений функции 
где 
Следовательно, 
Ответ:
Найдите множество значений функции 
Найдем множество значений функции
Функция g(x) определена на всей числовой оси. Сделаем замену переменного. Пусть Тогда
при и 
Функция 
принимает все значения из промежутка 
Множество значений функции f(x) совпадает с множеством значений функции где 
Следовательно,
Ответ:
Найдите наибольшее целое число a, при котором выражение
Сделаем замену 
Выясним, для каких а неравенство
выполняется при любом действительном t.
Имеем
Пусть 
тогда
Отсюда 
где 
значит,
Ответ: 10.
Найдите наименьшее натуральное n такое, что 
Из 
следует, что 
или 
где k — целое. У нас 
и 
Случай первый. Когда 
следовательно, 
Поскольку 403 и 72 взаимно просты, то n кратно 72. Значит, наименьшее 
Случай первый. Когда 
где 2017n кратно 180. Поскольку 2017 и 180 взаимно просты, то n кратно 180. Значит, наименьшее 
Ответ: 72.
Разобран только один случай, но ответ верный — три балла. Разобран случай, дающий ответ 180 — один балл.
Найдите хотя бы один корень уравнения
меньший, чем 
Обозначим 
Тогда уравнение перепишется в виде
Очевидно, что числа 
являются корнями этого уравнения. Тогда все числа 
будут решениями исходного уравнения.
Для того, чтобы 
достаточно чтобы было выполнено
Отсюда 
и 
Это неравенство имеет место для всех целых 
Ответ: 
Найдите наименьшее значение |x − y| при условии
Так как 
(причём знак равно достигается при 
если 
то
Поэтому имеет место равенство как в первых двух неравенствах (отсюда 
и 
так и в последнем (отсюда 
Значит, 
и 
В указанные интервалы попадают значения: 
и 
Наименьшее значение модуля разности: 
Ответ: 
Найдите наименьшее значение функции 
В силу неравенства 
имеем
Достигается при
Ответ: 
Пусть 
Найдите наименьшее натуральное число n > 37 для которого Sn < S37.
Ясно, что значение выражения 
положительно для 
равно нулю для 
отрицательно для 
причём 
для любого s. Заметим, что
Для 
имеем
Для 
имеем
Для 
имеем
Следовательно, ответом к задаче является число 143.
Ответ: 143.
Наверх