Ре­ше­ние.

До­пу­стим, что окруж­но­сти могут ка­сать­ся друг друга по-раз­но­му.

Если окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­не, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, то тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в цен­трах окруж­но­сти имеет сто­ро­ны

Легко уви­деть, что это пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, т. к. вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство Пи­фа­го­ра:

его ги­по­те­ну­за равна 5. Найдём ра­ди­ус r окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник.

Так как пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

То ту же пло­щадь можно вы­ра­зить через пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти:

сле­до­ва­тель­но, Если две окруж­но­сти ка­са­ют­ся тре­тьей внут­ри, то рас­сто­я­ния между цен­тра­ми равны со­от­вет­ствен­но: 3; 2 и 1. Итак, сразу было видно, что цен­тры окруж­но­стей при таком по­стро­е­нии лежат на одной пря­мой.

 

Ответ: ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 1.