РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9973 Добавить в вариант

Лугопарк имеет форму квадрата 12 × 12 км, разбитого на три полосы, шириной по 4 км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая  — песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью 12 км/ч, по снегу 4 км/ч, а по песку  — 3 км/ч. Лыжник бежит по льду со скоростью 3 км/ч, по снегу 12 км/ч, а по песку  — 4 км/ч. Атлет бежит по льду со скоростью 4 км/ч, по снегу 3 км/ч, а по песку  — 12 км/ч. Все трое одновременно стартуют из одного угла лугопарка, чтобы финишировать в противоположном. Каждый из них самостоятельно выбирает наиболее быстрый для себя маршрут движения. Кто из них прибежит первым?

Спрятать решение

Решение.

Для каждого человека назовём быстрой средой среду, в которой скорость 12 км/ч, назовём средней средой среду, в которой скорость 4 км/ч, назовём медленной средой среду, в которой скорость 3 км/ч.

Рассмотрим угол между вектором движения спортсмена в некоторой среде и вектором $\overrightarrowA B.$ Обозначим угол для оптимального движения в быстрой среде $альфа _12,$ в средней среде $альфа _4,$ в медленной среде $альфа _3.$ Эти углы для спортсменов одинаковы. Расстояния, пройденные спортсменами в быстрой среде тоже одинаковы. Расстояния, пройденные спортсменами в средней среде одинаковы. Расстояния, пройденные спортсменами в медленной среде тоже одинаковы.

Обозначим время оптимального движения в быстрой среде $t_12,$ в средней среде $t_4,$ в медленной среде $t_3 умножить на t_12$ для всех спортсменов одинаково, $t_4$ для всех спортсменов одинаково, $t_3$ для всех спортсменов одинаково. Все спортсмены дойдут до противоположного угла за одинаковое время $t=t_3 плюс t_4 плюс t_12.$

Ответ: все спортсмены прибегут к противоположной вершине одновременно.

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 9 класс, Дистанционный тур, 2007 год

Классификатор: Алгебра. Минимаксные задачи без производной

Спрятать решение · Помощь