а) У Янатты имеются чашечные весы и набор разновесок в
б) Вычислите интеграл
в) Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что из образовавшихся кусков можно составить треугольник.
Решение. а) На одной из чашек окажется гиря в 1 грамм. Тогда общая сумма весов на этой чашке станет выражаться числом граммов, не кратным 5. А на второй чашке все веса гирь кратны пяти, значит, их сумма тоже. Поэтому веса не равны.
б) Преобразуем подынтегральное выражение с помощью многократного использования формул преобразования суммы в произведение. Например затем преобразуем так же и и так далее. В итоге мы получим сумму синусов и косинусов от углов вида По доказанному в предыдущем пункте, ни одна такая сумма не дает 0. Но при имеем
поскольку
в) Будем считать, что палку случайно ломают следующим образом — сначала выбирают на ней случайным образом две точки, а затем ломают в них. Будем считать, что палки имеют длину 1, первая точка деления отделяет обломок длиной x, а вторая тогда третий обломок имеет длину Для составления треугольника необходимо и достаточно выполнение трех условий:
1) если то отсюда
2) если то отсюда
3) если то отсюда
Теперь рассмотрим область плоскости, заданную условиями и выясним, в какой ее части выполнены все эти условия. Любое линейное неравенство относительно x и y задает на плоскости некоторую полуплоскость. Интересующая нас область изображена на рисунке.
Как видно из рисунка, область
Ответ:
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |