Последовательности an , bn связаны соотношениями
а) Пусть Положим
Докажите, что числа образуют геометрическую прогрессию.
б) Докажите, что пределы существуют и не зависят от выбора
в) Лучи и лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол с осью абсцисс, а — угол с осью ординат. Луч является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом а mn — биссектрисой угла между осью ординат и Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом и осью абсцисс.
Решение. а) Пусть Положим
Докажите, что числа образуют геометрическую прогрессию. Заметим, что поэтому
Итак, отличается от ровно в 4 раза. Тогда
Итак, отличается от ровно в 4 раза. Наконец и поэтому
и
А дальше при переходе к номеру, отличающемуся вдвое, выражения и уменьшатся вчетверо, значит, их квадраты — в 16 раз, сумма квадратов тоже в 16 раз, корень из нее — в 4 раза. То есть поэтому с четными и неучёными номерами образуют геометрические прогрессии со знаменателем а тогда (учитывая
Докажите, что пределы существуют и не зависят от выбора Из решения пункта a следует, что и поэтому и последовательность образованная перемешиванием этих двух, стремится к нулю. Поэтому Аналогично
в) Лучи и лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол с осью абсцисс, а — угол с осью ординат. Луч является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом а mn — биссектрисой угла между осью ординат и Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом и осью абсцисс.
Обозначим за an угол между лучом и осью абсцисс, а за bn — угол между лучом mn и осью абсцисс, деленные
Поскольку все лучи, очевидно, лежат в первой четверти,
откуда с точностью а угол равен с точностью что и требовалось.
Ответ:
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |