а) Докажите, что число различных способов замощения полоски размером «доминошками» равно n-му числу Фибоначчи.
б) Найдите формулу для суммы квадратов коэффициентов в разложении бинома
в) Шестеро учеников готовятся к ответу, сидя в один ряд на скамье за общим столом. Учитель может вызвать их в любом порядке. Какова вероятность того, что, выходя к доске, хотя бы один из них потревожит другого?
Решение. а) Пусть xn — число способов замощения полоски «доминошками». Крайняя левая доминошка может лежать так, как показано на рисунке, а или б, в первом случае имеются способов замощения оставшейся полоски, во втором их Значит, а так как и то, рассуждая по индукции, получаем, что xn — это n-е число Фибоначчи.
б) До этой формулы можно догадаться, рассмотрев несколько значений n, и затем доказать ее по индукции. Приведем, однако, другое рассуждение.
Имеем: коэффициент при в левой части равен сумме откуда и следует указанное тождество.
Ответ:
в) Найдем вероятность того, что каждый раз ученик выходит к доске, не попросив подняться никого из своих одноклассников. В первый раз учитель должен вызвать Алешу или Евгения (см. рис.), вероятность этого события равна во второй — опять-таки двух крайних (вероятность — и так далее, таким образом с вероятностью никто никому не помешает. Искомая вероятность равна
Ответ:
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |