a) Решите неравенство
б) Решите неравенство
в) Найдите все прямые, касающиеся графика функции в двух различных точках.
Решение. Два первых пункта этой задачи абсолютно стандартны.
а) Решите неравенство
Ответ:
б) После замены и обычных преобразований получаем неравенство значит, (учитывая, что или
Ответ:
в) Решение задачи этого пункта уже не является стандартным. Целесообразно записать
График касается оси абсцисс в точках и (см. рис.), поэтому график данной функции касается прямой в точках с такими же абсциссами. Этот факт очевиден с геометрической точки зрения. Пусть два графика имеют общую касательную. Если добавить к каждой из данных функций одно и то же слагаемое, то новые графики также будут иметь общую касательную. Приведем в нашем случае и формальное доказательство.
Пусть и Имеем: и поэтому
Остается открытым вопрос о единственности такой «двойной» касательной. С геометрической точки зрения все очевидно, достаточно взглянуть на эскиз графика функции g (см. рис.). Для аккуратного доказательства единственности следовало бы использовать выпуклость этого графика, поэтому мы изберем другой, алгебраический, подход.
Поскольку утверждение, которое мы сейчас докажем, имеет общий характер, сформулируем его в виде теоремы.
Теорема. Пусть — многочлен и Тогда делится на
Действительно, так как то где — многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем откуда значит, и
Следствие. Если прямая, заданная уравнением касается графика многочлена в точке то разность делится на (Попробуйте доказать это следствие самостоятельно).
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках.
Если прямая ( — линейная функция) касается графика в точках с абсциссами и то разность делится на значит,
где — квадратный трехчлен. Пусть — еще одна двойная касательная. Тогда откуда
Если то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |