В условии этой задачи все числа — комплексные.
а) Нарисуйте образ полуплоскости 
при отображении, сопоставляющем числу z число 
б) Докажите, что если 
то треугольник с вершинами в точках a, b, c содержит начало координат.
в) Докажите, что всякий корень уравнения
лежит в треугольнике с вершинами в точках 
Решение. а) Ответ: — на рисунке. Пусть
Поскольку 
то 
Точка w принадлежит образу полуплоскости 
тогда и только тогда, когда
б) Одно из возможных решений: если то 
Последнее равенство имеет вид 
где 
и 
таким образом, начало координат лежит внутри выпуклой оболочки точек a, b, c,
в) Если 
— корень уравнения, 
то
в силу утверждения предыдущего пункта точка ноль лежит внутри треугольника с вершинами 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Поскольку то Точка w принадлежит образу полуплоскости тогда и только тогда, когда
б) Одно из возможных решений: если то
Последнее равенство имеет вид где и таким образом, начало координат лежит внутри выпуклой оболочки точек a, b, c,
в) Если — корень уравнения, то
в силу утверждения предыдущего пункта точка ноль лежит внутри треугольника с вершинами
Поскольку то Точка w принадлежит образу полуплоскости тогда и только тогда, когда
б) Одно из возможных решений: если то
Последнее равенство имеет вид где и таким образом, начало координат лежит внутри выпуклой оболочки точек a, b, c,
в) Если — корень уравнения, то
в силу утверждения предыдущего пункта точка ноль лежит внутри треугольника с вершинами