Многочлены Чебышева первого рода определены формулой
а) Докажите, что
б) Докажите, что — многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
в) Найдите и докажите, что для любого квадратного трехчлена выполняется неравенство
Решение. а) Положим для краткости
б) Доказательство проводится методом математической индукции с использованием рекуррентного соотношения, выведенного в предыдущем пункте. — многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
Докажем утверждение по индукции. База. Переход. Пусть утверждение верно при Докажем его при тогда
Итак,
Поэтому степень получается увеличением на 1 степени а старший коэффициент многочлена получается умножением на 2 старшего коэффициента многочлена Поскольку
в) Имеем: и
тогда следовательно, надо доказать, что при любых a, b верно неравенство
Далее, имеем:
Поскольку при всех a справедливо неравенство то хотя бы одно из этих чисел не меньше единицы. Если то хотя бы одно из чисел не меньше
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |