РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 920 Добавить в вариант

Известно, что x, y, z, t неотрицательные числа такие, что $xyz=2,y плюс z плюс t=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Докажите, что $2x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате плюс t в квадрате больше или равно 6.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

$2 x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате плюс t в квадрате =2 x в квадрате плюс 2 y z плюс y в квадрате минус 2 y z плюс z в квадрате плюс t в квадрате =$
$=2 x в квадрате плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби плюс левая круглая скобка y минус z правая круглая скобка в квадрате плюс t в квадрате больше или равно 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка =2 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка ,$ $2 x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате плюс t в квадрате =2 x в квадрате плюс 2 y z плюс y в квадрате минус 2 y z плюс z в квадрате плюс t в квадрате =$
$=2 x в квадрате плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби плюс левая круглая скобка y минус z правая круглая скобка в квадрате плюс t в квадрате больше или равно 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка =$
$=2 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка ,$

а $левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка больше или равно 3$ по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трёх чисел.

Аналоги к заданию № 912: 920 Все

Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства со средними

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь