РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 8926 Добавить в вариант

Пусть $p_1,p_2,...,p_97$   — простые числа (не обязательно различные). Какое наибольшее целое значение может принимать выражение

$\sum_i=1 в степени левая круглая скобка 97 правая круглая скобка дробь: числитель: p_i, знаменатель: p_i в квадрате плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: p_1, знаменатель: p_1 в квадрате плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_2 в квадрате плюс 1 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: числитель: p_97, знаменатель: p_97 в квадрате плюс 1 конец дроби ?$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что функция $дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 1 конец дроби$ убывает при $x больше или равно 2,$ а значит,

$\sum_i=1 в степени левая круглая скобка 97 правая круглая скобка дробь: числитель: p_i, знаменатель: p_i в квадрате плюс 1 конец дроби меньше или равно 97 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 в квадрате плюс 1 конец дроби =97 умножить на 0,4=38,8.$

Таким образом, ответ не может быть больше, чем 38.

При этом $дробь: числитель: 3, знаменатель: 3 в квадрате плюс 1 конец дроби =0,3,$ что на 0, 1 меньше значения для p  =  2. Значит, если в вышеприведённой максимальной сумме заменить восемь двоек на тройки, получится как раз 38.

Ответ: 38.

Открытая межвузовская олимпиада школьников Будущее Сибири, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения, Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Помощь