Найдите решение системы
Левая часть последнего уравнения напоминает скалярное произведение в координатной форме. Воспользуемся этим. Рассмотрим её как скалярное произведение векторов 
и 
Тогда
С другой стороны по определению скалярного произведения: 
где α — угол между векторами, отсюда получаем 
векторы коллинеарны, их координаты пропорциональны,
Тогда
Функция 
достигает максимума 
при 
Отсюда
Таким образом, найдено решение, которое удовлетворяет условию задачи:
Докажем, что в любом решении системы числа x и t одного знака, а также, что числа y и z тоже одного знака. Оба произведения xt и yz не могут быть одновременно отрицательными. Предположим, что одно из них положительно, a другое отрицательно; например, 
Так как 
и 
то 
Противоречие. С учетом этого все остальные решения можно получить подбором знаков плюс или минус.
| x | y | z | t | |
| 1 | + | + | + | + |
| 2 | + | − | − | + |
| 3 | − | + | + | − |
| 4 | − | − | − | − |
Ответ: 
Приведем другое решение.
Вид первого уравнения системы 
заставляет вспомнить теорему Пифагора и основное тригонометрическое тождество. Логична замена 
Из последнего уравнения системы имеем
Далее, имеем:
Наибольшее значение принимает при
Ответ: