РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8722 Добавить в вариант

Найти все значения параметра a, при которых уравнение

$левая круглая скобка a плюс x в квадрате минус x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =4 a левая круглая скобка a x в квадрате плюс x в квадрате минус x плюс 2 правая круглая скобка$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Введём замену $t=x в квадрате минус x плюс 2,$ тогда уравнение примет вид

$левая круглая скобка a плюс t правая круглая скобка в квадрате =4 a левая круглая скобка a x в квадрате плюс t правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка a минус t правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 a x правая круглая скобка в квадрате =0 ,$ $левая круглая скобка t минус a минус 2 a x правая круглая скобка левая круглая скобка t минус a плюс 2 a x правая круглая скобка =0,$ $левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 2 минус a минус 2 a x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 2 минус a плюс 2 a x правая круглая скобка =0.$

Уравнение распадается на два квадратных уравнения $x в квадрате минус x плюс 2 минус a минус 2 a x=0$ и $x в квадрате минус x плюс 2 минус a плюс 2 a x=0,$ и имеет одно решение, если дискриминант одного из уравнений равен нулю, а второго отрицательный или наоборот, получаем

$D_1= левая круглая скобка 1 плюс 2 a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка =4 a в квадрате плюс 8 a минус 7 ,$ $D_2= левая круглая скобка 1 минус 2 a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка =4 a в квадрате минус 7.$

Уравнение имеет единственное решение при $a= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус 1$ или $a= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус 1; минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии выставления
15	Обоснованно получен правильный ответ
12	При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки или при правильном ответе имеются недостатки обоснования
6	Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует
0	Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий

Олимпиада Шаг в будущее, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Линейные уравнения и неравенства, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь