РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8619 Добавить в вариант

Можно ли множество из 2017 чисел $левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 5, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 6, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 7, \ldots, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2021 правая фигурная скобка$ разбить на две части так, чтобы сумма чисел, попавших в одну из этих частей, отличалась от суммы чисел в другой не более, чем на 1 (по абсолютному значению)?

Спрятать решение

Решение.

На первом шаге в группе А разместим логарифмы нечетных чисел, а в группе В  — четных:

$A= левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 5, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 7, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 9, \ldots, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2021 правая фигурная скобка , \quad B= левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 6, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 8, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 10, \ldots, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2020 правая фигурная скобка$ $A= левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 5, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 7, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 9, \ldots, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2021 правая фигурная скобка , \quad$
$\quad B= левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 6, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 8, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 10, \ldots, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2020 правая фигурная скобка$

Обозначение: $\sigma_A, \sigma_B$   — сумма чисел в группах A и B соответственно. Покажем, что $\sigma_A минус \sigma_B больше 1.$ Действительно,

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 7 больше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 6;$

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 9 больше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 8;$

..............................

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2021 больше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2020;$

$\sigma_A минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 5 больше \sigma_B \Rightarrow \sigma_A минус \sigma_B больше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 5 больше 1.$

Преобразование множеств A и B: перенесем число $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2021$ из группы A в группу B, а число $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2020$ наоборот  — из B в A.

Поскольку $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2021 больше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2020$ разность $\sigma_A минус \sigma_B$ уменьшилась на величину

$дельта _1= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2021 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2020= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: 2021, знаменатель: 2020 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2020 конец дроби правая круглая скобка меньше 1$

Если для вновь образованных множеств A и B разность $\sigma_A минус \sigma_B больше 0,$ меняем местами числа $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2019$ и $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2018.$ По-прежнему, разность $\sigma_A минус \sigma_B$ уменьшается на величину

$дельта _2= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2019 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 2018= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: 2019, знаменатель: 2018 конец дроби меньше 1.$

Если разность $\sigma_A минус \sigma_B больше 0,$ по процесс перекладывания чисел из одного множества в другое может быть продолжен. Если на каком-то шаге $\sigma_A минус \sigma_B$ поменяет знак, то $\left|\sigma_A минус \sigma_B| меньше 1$ и искомое разбиение достигнуто. Это обязательно произойдет за конечное число шагов, поскольку замена множеств A и B местами приводит к смене знака величины $\sigma_A минус \sigma_B.$

Ответ: можно.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
2	Полностью обосновал верный ответ.
1,5	Недостаточное обоснование при правильно описанном алгоритме.
1	Сделал начальные оценки разности сумм или составленного выражения и описал алгоритм перемещения чисел.
0,5	Догадался разделить числа на логарифмы четных и нечетных или составил какое-то выражение из этих чисел , которое будет модифицироваться на последующих шагах.
0	Верный ответ без обоснования.

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Алгебра. Действия с логарифмами

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь