Па­рал­ле­ло­грамм раз­делён на два дан­ных ше­сти­уголь­ни­ка, че­ты­ре не­вы­пук­лых четырёхуголь­ни­ка, ко­то­рые мы обо­зна­чи­ли на ри­сун­ке циф­ра­ми 1, 2, 3, 4, и тре­уголь­ник, при­мы­ка­ю­щий к вер­ши­не C. За­ме­тим, что четырёхуголь­ни­ки 1 и 4 по­доб­ны  — они по­лу­ча­ют­ся вы­ре­за­ни­ем из двух по­доб­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков с углом 120° при вер­ши­не. Ана­ло­гич­но, по­доб­ны четырёхуголь­ни­ки 2 и 3. За­ме­тим, что ко­эф­фи­ци­ен­ты по­до­бия равны от­но­ше­нию сто­рон дан­ных ше­сти­уголь­ни­ков. Но пло­ща­ди по­ло­ви­нок па­рал­ле­ло­грам­ма ABD и CBD равны, причём по­ло­вин­ка ABD со­сто­ит из пер­во­го ше­сти­уголь­ни­ка и четырёхуголь­ни­ков 1 и 2, а вто­рая  — из вто­ро­го ше­сти­уголь­ни­ка, четырёхуголь­ни­ков 3 и 4 и ещё бе­ло­го тре­уголь­ни­ка. Зна­чит, сто­ро­на ше­сти­уголь­ни­ка, при­мы­ка­ю­ще­го к вер­ши­не A, боль­ше.

Ответ: тот, ко­то­рый при­мы­ка­ет к вер­ши­не A.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Диа­го­наль крас­но­го ше­сти­уголь­ни­ка сов­па­да­ет с бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка ABD, ко­то­рая равна бис­сек­три­се CK тре­уголь­ни­ка BCD. Пусть синий ше­сти­уголь­ник  — это PQRSTU, как на ри­сун­ке. Тре­бу­ет­ся срав­нить диа­го­на­ли CK и PS пра­виль­ных ше­сти­уголь­ни­ков. Они пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре O ше­сти­уголь­ни­ка, так как четырёхуголь­ник PCQO впи­сан­ный, CK бис­сек­три­са и по­это­му делит дугу POQ по­по­лам, то есть про­хо­дит через O.

За­ме­тим, что пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок PQ, по­это­му (из сим­мет­рии от­но­си­тель­но O) она пе­ре­се­ка­ет и от­ре­зок TS. Углы PCK и PSK равны по 60°. Далее есть не­сколь­ко спо­со­бов.

Пер­вый спо­соб. Тре­уголь­ни­ки PCO и KSO по­доб­ны по двум углам. Пусть тогда В тре­уголь­ни­ке PCO: зна­чит, и по­это­му По­лу­ча­ем их раз­ность

Вто­рой спо­соб. За­ме­тим, что точки P, C, S, K лежат на одной окруж­но­сти. Тре­бу­ет­ся срав­нить её хорды CK и PS  — диа­го­на­ли пра­виль­ных ше­сти­уголь­ни­ков. Чтобы срав­нить хорды, до­ста­точ­но срав­нить ве­ли­чи­ны мень­ших дуг, ко­то­рые они стя­ги­ва­ют. Не ума­ляя общ­но­сти, тогда угол CKS не ост­рый, и рав­ный ему угол CPS  — тоже не ост­рый. Тогда ту­пы­ми будут углы PKS и CPK, от­ку­да дуги PKS и CPK мень­ше по­лу­окруж­но­сти, их нам и надо срав­нить. Общую часть этих дуг можно вы­бро­сить и срав­нить дуги CP и KS, а для этого до­ста­точ­но срав­нить хорды CP и KS. Пусть X  — точка пе­ре­се­че­ния PQ и C K. Тогда (в силу сим­мет­рии от­но­си­тель­но O ). За­ме­тим, что (так как угол B па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°), от­ку­да Зна­чит, так как в тре­уголь­ни­ке про­тив боль­шей сто­ро­ны лежит боль­ший угол.

Тре­тий спо­соб. Из той же окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что

(ра­вен­ства нет, по­то­му что ).