РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8586 Добавить в вариант

Числа x и y таковы, что

$система выражений x плюс y=a плюс 2, x y=a в квадрате минус a плюс 2. конец системы .$

При каком значении a сумма $x в квадрате плюс y в квадрате$ принимает наибольшее значение?

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем $x в квадрате плюс y в квадрате$ и воспользуемся условиями системы:

$x в квадрате плюс y в квадрате = левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате минус 2 x y= левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс 2 правая круглая скобка = минус a в квадрате плюс 6 a= минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 9=f левая круглая скобка a правая круглая скобка .$ $x в квадрате плюс y в квадрате = левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате минус 2 x y= левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс 2 правая круглая скобка =$
$= минус a в квадрате плюс 6 a= минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 9=f левая круглая скобка a правая круглая скобка .$ $x в квадрате плюс y в квадрате = левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате минус 2 x y=$
$= левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс 2 правая круглая скобка = минус a в квадрате плюс 6 a=$
$= минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 9=f левая круглая скобка a правая круглая скобка .$

Выясним при каких значениях параметра a исходная система имеет решения. Выразим переменную y из первого равенства и подставим во второе:

$система выражений y= минус x плюс a плюс 2, x левая круглая скобка минус x плюс a плюс 2 правая круглая скобка =a в квадрате минус a плюс 2. конец системы .$

Исследуем полученное квадратное уравнение $x в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x плюс a в квадрате минус a плюс 2=0.$ Дискриминант уравнения равен

$D= левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс 2 правая круглая скобка = минус 3 a в квадрате плюс 8 a минус 4= минус левая круглая скобка 3 a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка ,$

уравнение имеет корни при $a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка .$ Этот отрезок целиком входит в промежуток возрастания функции f(a), следовательно, наибольшее значение достигается в крайней правой точке $a=2$ и равно $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =8.$

Ответ: 2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии выставления
15	Обоснованно получен правильный ответ
12	При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки или при правильном ответе имеются недостатки обоснования
5	Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует
0	Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий

Олимпиада Шаг в будущее, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Минимаксные задачи с параметрами, Задачи с параметрами. Системы уравнений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь