РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8034 Добавить в вариант

В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS площадь основания совпадает с площадью боковой грани и равна 4. Точка M  — точка пересечения медиан грани CDS. Точка N лежит на прямой AM и $A N: N M=2: 3.$ Найдите сумму расстояний от точки N до всех граней пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

Из условия задачи сторона основания пирамиды равна 2, апофема боковой грани  — 4. Тогда высота пирамиды $h= корень из: начало аргумента: 16 минус 1 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$ Объём пирамида ABCDS равен

$V= дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

С другой стороны, объём пирамиды можно найти как сумму объёмов пяти пирамид, вершина которых  — точка N, а основания  — грани пирамиды ABCDS. Тогда

$V= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка h_1 плюс h_2 плюс h_3 плюс h_4 плюс h_5 правая круглая скобка ,$

где h₁, h₂, h₃, h₄, h₅ расстояния от точки N до граней пирамиды ABCDS (или высоты маленьких пирамид). Приравнивая объёмы, получаем ответ. Заметим, что сумма расстояний не зависит от расположения точки внутри данной пирамиды.

Ответ: $корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Если правильно найдена высота пирамиды, то 2 балла. Найдены правильно отдельно расстояния до граней — по 2 балла за каждое. За верное решение 12 баллов.

Аналоги к заданию № 8020: 8034 Все

Инженерная олимпиада Звезда, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Расстояние от точки до прямой, до плоскости, Методы геометрии. Метод площадей, метод объемов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь