РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7949 Добавить в вариант

Положительные числа a, b, c, d больше 1. Найдите наименьшее возможное значение выражения

$логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка a b в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка левая круглая скобка b в квадрате c в кубе правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка левая круглая скобка c в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка d в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка левая круглая скобка d в степени левая круглая скобка 35 правая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 36 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Из свойств логарифма следует, что $логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка b умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка c умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка d умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка a=1.$ Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа a, b, c, d больше 1. Преобразуем и оценим имеющееся выражение

$\begingathered S= логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка a b в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка левая круглая скобка b в квадрате c в кубе правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка левая круглая скобка c в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка d в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка левая круглая скобка d в степени левая круглая скобка 35 правая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 36 правая круглая скобка правая круглая скобка = = левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка a плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка b в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка b в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка c в кубе правая круглая скобка плюс левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка c в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка d в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка d в степени левая круглая скобка 35 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 36 правая круглая скобка правая круглая скобка = = левая круглая скобка 1 плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 плюс 3 логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка c правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 5 плюс 6 логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка d правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 35 плюс 36 логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка a правая круглая скобка больше или равно \geqslant левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 5 плюс 35 правая круглая скобка плюс 4 корень 4 степени из: начало аргумента: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка a конец аргумента b умножить на 3 логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка c умножить на 6 логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка d умножить на 36 логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка a правая круглая скобка =43 плюс 4 умножить на 6=67. \endgathered$

здесь в последнем переходе использовалось неравенство между арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел $2 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка b, 3 логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка c, 6 логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка d, 36 логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка a$ Также отметим, что значение $S=67$ достигается, например, при a  =  2, b  =  8, c  =  d  =  64, поскольку все четыре числа $2 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка b, 3 логарифм по основанию левая круглая скобка b правая круглая скобка c, 6 логарифм по основанию левая круглая скобка c правая круглая скобка d, 36 логарифм по основанию левая круглая скобка d правая круглая скобка a$ будут равны 6.

Ответ: 67.

Олимпиада Курчатов, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Алгебра. Действия с логарифмами

Спрятать решение · Помощь