РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7916 Добавить в вариант

Пусть $S_n= косинус 1 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс косинус n в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Найдите наименьшее натуральное число n > 37 для которого S_n < S₃₇.

Спрятать решение

Решение.

Ясно, что значение выражения $косинус k в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ положительно для $0 меньше k меньше 90,$ равно нулю для $k=90,$ отрицательно для $90 меньше k меньше 180,$ причём $косинус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус s в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$ $минус косинус s в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ для любого s. Заметим, что

$\begingathered S_142= косинус 1 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 2 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 3 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс косинус 142 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = =S_37 плюс левая круглая скобка косинус 38 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 142 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка косинус 39 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 141 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка косинус 89 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 91 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс косинус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = =S_37 плюс 0 плюс 0 плюс \ldots плюс 0=S_37 . \endgathered$

Для $37 меньше m меньше или равно 90$ имеем

$S_m=S_37 плюс косинус 38 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс косинус m в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка больше или равно S_37.$

Для $90 меньше m меньше или равно 141$ имеем

$S_m=S_142 минус левая круглая скобка косинус левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \ldots плюс косинус 142 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно S_142=S_37.$

Для $m=143$ имеем

$S_m=S_142 плюс косинус 143 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка меньше S_142=S_37.$

Следовательно, ответом к задаче является число 143.

Ответ: 143.

Олимпиада Курчатов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2022 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Минимаксные задачи без производной

Спрятать решение · Помощь