РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7713 Добавить в вариант

На координатной плоскости задана последовательность точек $A_n левая круглая скобка a_n; b_n правая круглая скобка :$ A₁(2; 5), A₂(3; 1), $a_n=b_n минус 1 плюс b_n минус 2,$ $b_n=a_n минус 1 минус a_n минус 2,$ $\forall n больше 2.$ Докажите, что существует выпуклый многоугольник, вне которого не существует ни одной точки бесконечно ломанной A₁A₂A₃...A_n... Найдите наименьшую возможную площадь такого многоугольника.

Спрятать решение

Решение.

Запишем систему:

$система выражений A_1 левая круглая скобка a_1 ; b_1 правая круглая скобка , A_2 левая круглая скобка a_2 ; b_2 правая круглая скобка , A_3 левая круглая скобка b_2 плюс b_1 ; a_2 минус a_1 правая круглая скобка , A_4 левая круглая скобка b_2 плюс a_2 минус a_1 ; b_2 плюс b_1 минус a_2 правая круглая скобка , A_5 левая круглая скобка b_2 плюс b_1 минус a_1 ; a_2 минус a_1 минус b_1 правая круглая скобка , A_6 левая круглая скобка b_2 минус a_1 ; b_1 минус a_2 правая круглая скобка , A_7 левая круглая скобка минус a_1 ; минус b_1 правая круглая скобка , \ldots \ldots \ldots \ldots A_13 левая круглая скобка a_1 ; b_1 правая круглая скобка . конец системы .$

Значит,

$система выражений A_1 левая круглая скобка 2 ; 5 правая круглая скобка , A_2 левая круглая скобка 3 ; 1 правая круглая скобка , A_3 левая круглая скобка 6 ; 1 правая круглая скобка , A_4 левая круглая скобка 2 ; 3 правая круглая скобка , A_5 левая круглая скобка 4 ; минус 4 правая круглая скобка , A_6 левая круглая скобка минус 1 ; 2 правая круглая скобка , A_7 левая круглая скобка минус 2 ; минус 5 правая круглая скобка , A_8 левая круглая скобка минус 3 ; минус 1 правая круглая скобка , A_9 левая круглая скобка минус 6 ; минус 1 правая круглая скобка , A_10 левая круглая скобка минус 2 ; минус 3 правая круглая скобка , A_11 левая круглая скобка минус 4 ; 4 правая круглая скобка , A_12 левая круглая скобка 1 ; минус 2 правая круглая скобка . конец системы .$

Аналоги к заданию № 3203: 7713 Все

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Задачи, где в условии координаты

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь