РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 770 Добавить в вариант

Один двоечник написал следующие неверные формулы синуса и косинуса суммы: $синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = синус альфа минус синус бета$ и $косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = косинус альфа минус косинус бета .$ В свое оправдание он сказал, что при некоторых $альфа$ и $бета$ его формулы всё же верны. Найдите все такие пары $левая круглая скобка альфа , бета правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Составим систему:

$система выражений синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = синус альфа минус синус бета , косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = косинус альфа минус косинус бета . конец системы .$

Из первого равенств а следует, что

$2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Отсюда

$система выражений синус левая круглая скобка дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0, косинус левая круглая скобка дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец системы . равносильно совокупность выражений альфа минус бета = 2 Пи k, дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби = \pm дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности .$

где $k, n принадлежит Z .$ В первом случае $косинус альфа = косинус бета .$ Таким образом, формула «косинуса суммы» превращается в $1=0,$ что невозможно.

Во втором случае мы получаем либо $бета =2 Пи n$ или $альфа =2 Пи n,$ где $n принадлежит Z .$ Тогда второе равенство превращается в $косинус альфа = косинус альфа минус 1,$ что невозможно, или $косинус бета =1 минус косинус бета ,$ откуда $бета =\mp дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи l,$ $l принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка альфа =2 Пи n; бета =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи l : n, l принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Открытая олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Преобразования буквенных выражений

Спрятать решение · Помощь