РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7461 Добавить в вариант

Точка A расположена посередине между точками B и C. Квадрат ABDE и равносторонний треугольник CFA находятся в одной полуплоскости относительной прямой BC. Найдите угол между прямыми CE и BF.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим за M точку пересечения отрезков BF и CE. Заметим, что $\angle C F B=$ $90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ так как FA  — это медиана, равная половине стороны, к которой она проведена. Из этого следует, что $\angle F B C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F C B=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Из равнобедренного прямоугольного треугольника CAE следует, что $\angle E C A=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Тогда в треугольнике CMB угол

$\angle C M B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle M B C минус \angle M C B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =$ $105 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

что и является ответом.

Ответ: 105°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Найден угол $\angle C B F$ — 2 балла. Найден угол $\angle E C A$ — 1 балл. Неважно, найден угол в 105° или в 75°.

Всесибирская олимпиада школьников, 8 класс, 1 тур (отборочный дополнительный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь