РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7442 Добавить в вариант

При каких значениях параметра а уравнение

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате x плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс a минус 5=0$

имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x,$ тогда уравнение принимает вид $t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка t плюс a минус 5=0.$ 3аметим, что

$левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 5 минус a=a минус 5 равносильно минус 1 плюс левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка =4 минус a,$

откуда по теореме, обратной теореме Виета, корни этого уравнения: −1 и $5 минус a.$ Делаем обратную замену: $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x= минус 1$ или $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x=5 минус a,$ то есть или $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ или $x=4 в степени левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка .$ Получаем два случая: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби =4 умножить на 4 в степени левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка$ или $4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби =4 в степени левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка .$ В первом случае $a=7,$ во втором  — $a=5 .$

Ответ: 7, 5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 7427: 7442 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Логарифмы, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь