РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7427 Добавить в вариант

При каких значениях параметра а уравнение

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x плюс левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 9 минус 3 a=0$

имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x,$ тогда уравнение принимает вид

$t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка 9 минус 3 a правая круглая скобка =0.$

3аметим, что

$3 умножить на левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка =9 минус 3 a равносильно 3 плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка =6 минус a,$

откуда по теореме, обратной теореме Виета, корни этого уравнения  — 3 и $3 минус a.$ Делаем обратную замену: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=3$ или $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=3 минус a,$ то есть или $x=8,$ или $x=2 в степени левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка .$ Получаем два случая: $8=4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка$ или $2 в степени левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка =4 умножить на 8.$ В первом случае $a=2,$ во втором  — $a= минус 2.$

Ответ: −2,2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 7427: 7442 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Логарифмы, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь