РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7414 Добавить в вариант

Произведение двух натуральных чисел a и b равно трёхзначному числу, являющемуся кубом некоего натурального числа k. Частное же чисел a и b равно квадрату этого же числа k. Найдите a, b и k.

Спрятать решение

Решение.

Запишем условия в следующем виде $a умножить на b=k в кубе ,$ $дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби =k в квадрате .$ Разделив первое на второе, получим $b в квадрате =k.$ Так как k³  — трёхзначное число, то равное ему b⁶  — трёхзначное число. Очевидно b не равно 1 и 2 , так как $1 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =1,$ $2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =64.$ Далее, b может быть равно 3, так как $3 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =729.$ И наконец, если $b больше или равно 4,$ то $b в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка больше или равно 4 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =16 в кубе больше 10 в кубе =1000,$ что тоже не подходит. Итак, b  =  3. Отсюда k  =  9 и a  =  243.