Пер­вое ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что при ра­вен­ство из усло­вия не­воз­мож­но, так что далее мы везде счи­та­ем, что даже когда не на­по­ми­на­ем об этом явно (это три­ви­аль­ное за­ме­ча­ние, но если его не сде­лать  — можно по­те­рять не­мно­го бал­лов).

Пред­по­ло­жим, что такие мно­го­чле­ны P и Q на­шлись. Тогда можно счи­тать, что они вза­им­но­про­сты (иначе по­де­лим оба на общий мно­жи­тель  — новая пара тоже удо­вле­тво­ря­ет усло­вию), и у Q стар­ший ко­эф­фи­ци­ент равен 1 (до­мно­жим P и Q на кон­стан­ту, чтобы стар­ший ко­эф­фи­ци­ент стал равен 1). Вве­дем обо­зна­че­ние для раз­ло­же­ния Q на ли­ней­ные мно­жи­те­ли (есте­ствен­но, вос­поль­зо­вав­шись су­ще­ство­ва­ни­ем та­ко­го раз­ло­же­ния в ком­плекс­ных чис­лах):

Далее нам по­тре­бу­ет­ся из­вест­ное утвер­жде­ние о раз­ло­же­нии ра­ци­о­наль­ной функ­ции в сумму про­стей­ших дро­бей.

Лемма (о раз­ло­же­нии на про­стей­шие дроби). Су­ще­ству­ет и един­ствен­но пред­став­ле­ние вида

где сте­пень P_i(x) мень­ше n_i при при­чем

Это стан­дарт­ный факт, до­ка­за­тель­ство ко­то­ро­го можно про­честь во мно­гих учеб­ни­ках, и даже в Ви­ки­пе­дии в ста­тье «Раз­ло­же­ние ра­ци­о­наль­ной дроби на про­стей­шие».

Для ком­плекс­но­го числа α мно­же­ство чисел вида где   — целое, будем на­зы­вать цепью числа α.

Клю­че­вое утвер­жде­ние: если α — ко­рень Q, то числа 0 и 1 при­над­ле­жат цепи α.

До­ка­за­тель­ство. Пусть α — ко­рень Q, тогда обо­зна­чим через и такие ми­ни­маль­ное и мак­си­маль­ное зна­че­ния m, при ко­то­рых яв­ля­ет­ся кор­нем Q. За­ме­тим, что и опре­де­ле­ны кор­рект­но: мно­же­ство зна­че­ний m не пусто (по­сколь­ку 0 под­хо­дит) и ко­неч­но, по­сколь­ку у Q ко­неч­ное число кор­ней (пер­вое место, в ко­то­ром важно, что ). Тогда пусть не оба числа 0 и 1 лежат в цепи α. Тогда одно из двух чисел и не яв­ля­ет­ся ни 0, ни 1 (вто­рое место: нам важно, что и   — два раз­ных числа). Рас­смот­рим эти два слу­чая. Пусть   — не равно ни 0 ни 1. По­смот­рим на ра­вен­ство из усло­вия

и раз­ло­жим левую часть на про­стей­шие дроби. По­сколь­ку α_i  — ко­рень Q, в раз­ло­же­ние вхо­дит член со зна­ме­на­те­лем и не­ну­ле­вым чис­ли­те­лем. Но   — не ко­рень иначе было бы кор­нем Q(x), что про­ти­во­ре­чи­ло бы мак­си­маль­но­сти Тогда член со зна­ме­на­те­лем не вхо­дит в раз­ло­же­ние зна­чит, члену с таким зна­ме­на­те­лем слева не с чем со­кра­тить­ся  — но он не вхо­дит в пра­вую часть  — про­ти­во­ре­чие. Ана­ло­гич­но пусть   — не равно ни 0 ни 1. По­смот­рим на ра­вен­ство из усло­вия

и раз­ло­жим левую часть на про­стей­шие дроби. По­сколь­ку   — ко­рень в раз­ло­же­ние вхо­дит член со зна­ме­на­те­лем и не­ну­ле­вым чис­ли­те­лем. Но

не ко­рень Q(x), об­рат­ное про­ти­во­ре­чи­ло бы ми­ни­маль­но­сти Тогда член со зна­ме­на­те­лем не вхо­дит в раз­ло­же­ние зна­чит, члену с таким зна­ме­на­те­лем слева не с чем со­кра­тить­ся  — но он не вхо­дит в пра­вую часть  — про­ти­во­ре­чие.

Итак, мы до­ка­за­ли, что если у мно­го­чле­на Q есть ком­плекс­ные корни, то в цепь этого корня вхо­дят числа 0 и 1, то есть вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство для ка­ко­го-то це­ло­го m. Если же у Q нет ком­плекс­ных кор­ней, то он  — не­ну­ле­вая кон­стан­та, то есть и   — мно­го­чле­ны, тогда их раз­ность не может рав­нять­ся (это еще одно почти три­ви­аль­ное за­ме­ча­ние, не сде­лав ко­то­рое можно по­те­рять не­мно­го бал­лов).

Оста­лось по­ка­зать, что все зна­че­ния вида где под­хо­дят. Для до­ста­точ­но взять функ­цию

и при­ве­сти сумму к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, чис­ли­тель взять в ка­че­стве P а зна­ме­на­тель  — Q. Для то же самое сде­лать с сум­мой

Ответ: