РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7268 Добавить в вариант

Члены последовательности $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка _n=1 в степени левая круглая скобка бесконечность правая круглая скобка$ удовлетворяют соотношению $a_n плюс 1=2 a_n плюс 3,$ $a_1=a$ для любых n и целом a. При каких a число 637 является членом последовательности?

Спрятать решение

Решение.

Найдем общий член последовательности:

$a_2=2 умножить на a плюс 3 arrow a_3=2 левая круглая скобка 2 умножить на a плюс 3 правая круглая скобка плюс 3=2 в квадрате умножить на a плюс 2 умножить на 3 плюс 3 \Rightarrow$
$\Rightarrow a_4=2 левая круглая скобка 2 в квадрате умножить на a плюс 2 умножить на 3 плюс 3 правая круглая скобка плюс 3=2 в кубе умножить на a плюс 3 левая круглая скобка 2 в квадрате плюс 1 правая круглая скобка ,$

$a_n=2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на a плюс 3 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на a плюс 3 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 3.$ $a_n=2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на a плюс 3 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1 правая круглая скобка =$
$=2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на a плюс 3 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 3.$

Нужно найти целые a и n, при которых $a_n=637:$

$левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 3=637 \Rightarrow левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =640=5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка \Rightarrow a плюс 3=5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 8 минус n правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 3=637 \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =640=5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка \Rightarrow a плюс 3=5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 8 минус n правая круглая скобка .$

Число $a плюс 3$ может быть целым для $n=1, 2, \ldots 8,$ то есть существует восемь таких значений $a=5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 8 минус n правая круглая скобка минус 3$ для $n=1, 2, \ldots 8.$

Ответ: $a=5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 8 минус n правая круглая скобка минус 3$ для $n=1, 2, \ldots 8.$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2018 год

Классификатор: Анализ. Последовательности, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь