РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7183 Добавить в вариант

Найти x, при которых числа $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка$ и $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка 4$ могут быть тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Спрятать решение

Решение.

Условие прогрессии:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка 4= левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате .$

Преобразование:

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка = левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0.$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка = левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0.$

Если $логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка =0,$ то все члены прогрессии нулевые. Случай $логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка не равно q 0:$

$логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка =2 \Rightarrow система выражений косинус x больше 0 , косинус x не равно q дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , 6 синус x = 4 косинус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше 0, косинус x не равно q дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , 2 синус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 3 синус x минус 2 = 0 конец системы . равносильно система выражений синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x больше 0 конец системы . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 6 синус x правая круглая скобка =2 \Rightarrow система выражений косинус x больше 0 , косинус x не равно q дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , 6 синус x = 4 косинус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше 0, косинус x не равно q дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , 2 синус в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 3 синус x минус 2 = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x больше 0 конец системы . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь