РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7177 Добавить в вариант

Про целые числа a, b, c известно, что $a плюс b плюс c=1 .$ Докажите, что число $левая круглая скобка a плюс b c правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс a c правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс a b правая круглая скобка$ является точным квадратом.

Спрятать решение

Решение.

Из того, что $a плюс b плюс c=1,$ следует, что $a=1 минус b минус c,$ $b=1 минус a минус c,$ $c=1 минус a минус b.$ Тогда

$левая круглая скобка a плюс b c правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс a c правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс a b правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 минус b минус c плюс b c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a минус c плюс a c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a минус b плюс a b правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка = левая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате .$ $левая круглая скобка a плюс b c правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс a c правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс a b правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 минус b минус c плюс b c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a минус c плюс a c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a минус b плюс a b правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка = левая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате .$ $левая круглая скобка a плюс b c правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс a c правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс a b правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 минус b минус c плюс b c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a минус c плюс a c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a минус b плюс a b правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус c правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус b правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате .$

Так как числа a, b и c  — целые, то число $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка$ также является целым, что и требовалось.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

За обоснованное решение — 15 баллов, если утверждение доказано для каких-то частных случаев — 1 балл.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8, 9 класс, 2 этап (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь