РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7154 Добавить в вариант

Репите уравнение

$левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая круглая скобка правая квадратная скобка в квадрате минус 11 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка плюс 18 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =0$

(через [t] обозначена целая часть числа t, то есть наибольшее целое число, не превосходящее t).

Спрятать решение

Решение.

Уравнение имеет смысл при

$левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая квадратная скобка больше 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x больше или равно 1 равносильно x больше или равно 3 .$

Покажем, что при всех $x больше или равно 3$ справедливо неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка больше или равно левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая квадратная скобка левая круглая скобка$ на самом деле, это неравенство верно при всех $x больше или равно 1,$ но нам это не требуется). Действительно, для любого $x больше или равно 3$ существует такое натуральное число k, что $x принадлежит левая квадратная скобка 3 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка ; 3 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ а тогда $левая квадратная скобка x правая квадратная скобка принадлежит левая квадратная скобка 3 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка ; 3 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ поэтому $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка больше или равно k= левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая квадратная скобка .$ Следовательно,

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая круглая скобка правая квадратная скобка в квадрате минус 11 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка плюс 18 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка правая круглая скобка \geqslant$

$больше или равно левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая круглая скобка правая квадратная скобка в квадрате плюс 7 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка больше или равно 7 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка больше или равно 0 .$

При $x больше или равно 9$ получаем $левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая круглая скобка правая квадратная скобка больше или равно 1 больше 0,$ поэтому на этом луче решений нет. На полуинтервале $левая квадратная скобка 4 ; 9 правая круглая скобка$ имеем

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка =0 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка правая круглая скобка ,$

поэтому на этом промежутке решений также нет (первое неравенство в оценке $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ становится строгим). Наконец, любое число из полуинтервала $левая квадратная скобка 3; 4 правая круглая скобка$ является решением.

Ответ: $x принадлежит левая квадратная скобка 3; 4 правая круглая скобка .$

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения логарифмические, Алгебра: числа. Целая и дробная части, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах

Спрятать решение · Помощь