Нечётные n не под­хо­дят. В самом деле, рас­смот­рим мно­го­член и раз­лич­ные на­ту­раль­ные Так как n нечётно, де­лит­ся на а тогда

не де­лит­ся, по­сколь­ку

Оста­лось до­ка­зать, что все чётные n под­хо­дят. Рас­смот­рим про­из­воль­ный мно­го­член сте­пе­ни n. Пред­ста­вим его в виде суммы где в все мо­но­мы чётной сте­пе­ни, в в   — нечётной. За­ме­тим, что при всех на­ту­раль­ных a, b сумма де­лит­ся на До­ка­жем, что най­дут­ся такие a, b, что и де­лит­ся на За­ме­тим, что сте­пень равна n.

Рас­смот­рим слу­чай, когда стар­ший ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен (в слу­чае от­ри­ца­тель­но­го стар­ше­го ко­эф­фи­ци­ен­та про­ведём даль­ней­шее до­ка­за­тель­ство для мно­го­чле­на Так как то найдётся такое на­ту­раль­ное m, что До­ка­жем, что под­хо­дят. В силу вы­бо­ра m, они обе на­ту­раль­ные, причём Далее, по мо­ду­лю вы­пол­ня­ют­ся срав­не­ния (оче­вид­но) и

(в силу чётно­сти мно­го­чле­на Зна­чит, что и тре­бо­ва­лось.

За­ме­ча­ние. В слу­чае чётного п можно про­де­лать по­доб­ное рас­суж­де­ние и без раз­би­е­ния на чётную и нечётную ком­по­нен­ты. По­сколь­ку сте­пень мно­го­чле­на равна су­ще­ству­ет такое на­ту­раль­ное m, что Тогда по­дой­дут числа Дей­стви­тель­но, тогда и по мо­ду­лю верно срав­не­ние

Ответ: при всех чётных n.