РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 6962 Добавить в вариант

Профессор А. С. Климчик предлагает вам решить следующую задачу:

Дана система уравнений, описывающая положение и ориентацию исполнительного механизма робота на плоскости вида

$система выражений x=a умножить на косинус левая круглая скобка \varphi_1 правая круглая скобка плюс b умножить на косинус левая круглая скобка \varphi_1 плюс \varphi_2 правая круглая скобка плюс c умножить на косинус левая круглая скобка \varphi_1 плюс \varphi_2 плюс \varphi_3 правая круглая скобка ,y=a умножить на синус левая круглая скобка \varphi_1 правая круглая скобка плюс b умножить на синус левая круглая скобка \varphi_1 плюс \varphi_2 правая круглая скобка плюс c умножить на синус левая круглая скобка \varphi_1 плюс \varphi_2 плюс \varphi_3 правая круглая скобка , гамма =\varphi_1 плюс \varphi_2 плюс \varphi_3. конец системы .$

Найдите конфигурацию $левая круглая скобка \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 правая круглая скобка$ для заданного положения и ориентации $левая круглая скобка x, y, гамма правая круглая скобка ,$ а также известных a, b, c. При каких a, b, c задача имеет решение?

Professor A. Klimchik suggests you the following problem:

A system of equations is given that describes the position and orientation of the robot’s actuator on the plane

Find the configuration $левая круглая скобка \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 правая круглая скобка$ for a given position and orientation $левая круглая скобка x, y, гамма правая круглая скобка ,$ as well as known a, b, c. For what a, b, c does the problem have a solution?

Спрятать решение

Решение.

Изобразим на координатной плоскости трехзвенный манипулятор (звенья длин |a|, |b|, |c|), первое звено AB которого  — отрезок с началом в $A левая круглая скобка 0, 0 правая круглая скобка ,$ а третье  — отрезок с концом $D левая круглая скобка x, y правая круглая скобка .$ Тогда $\varphi_1$   — угол, образованный первым звеном и осью x, $\varphi_2$ и $\varphi_3$   — углы соответственно между первым и вторым, и вторым и третьим звеньями манипулятора, а γ — угол между направленным третьим звеном и положительным направлением оси x. Изобразим окружности ω_A и ω_D с центрами в точках A и D и радиусами |a| и |c| соответственно. Вектор $\overrightarrowC D$ (третье звено манипулятора) образует известный угол γ — таким образом, точка C имеет координаты

$левая круглая скобка x минус c умножить на косинус гамма ; y минус c умножить на синус гамма правая круглая скобка .$

Изобразим окружность ω_C с центром в точке C и радиусом |b|.

Количество общих точек окружностей ω_A и ω_C равно количеству решений задачи. Задача не имеет решений, если треугольника (пусть и вырожденного) со сторонами |AC|, |a|, |b| не существует. Найдем одно из решений задачи. Рассмотрим треугольник ABC (BC  — второе звено манипулятора). В нем $|A B|=|a|,$ $|B C|=|b|$ и

$|A C|= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус c умножить на косинус гамма правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс левая круглая скобка y минус c умножить на синус гамма правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка .$

Зная стороны треугольника, найдем его углы (используя теоремы синусов и косинусов). Так,

$\angle B A C= арккосинус дробь: числитель: a в квадрате плюс |A C| в квадрате минус b в квадрате , знаменатель: 2|a| умножить на |A C| конец дроби ,$

причем

$\varphi_1=\angle B A C плюс арктангенс дробь: числитель: x минус c умножить на косинус гамма , знаменатель: y минус c умножить на синус гамма конец дроби .$

Аналогично,

Наконец, $\varphi_3= гамма минус \varphi_1 минус \varphi_2.$

We represent on the coordinate plane a three-link manipulator (links of lengths |a|, |b|, |c|), the first link AB of which is a segment with the origin at $A левая круглая скобка 0, 0 правая круглая скобка ,$ and the third one is a segment with the end $D левая круглая скобка x, y правая круглая скобка .$ Then $\varphi_1$ is the angle formed by the first link and the x axis, $\varphi_2$ and $\varphi_3$ are the angles between the first and second, and the second and third links of the manipulator, respectively, and $гамма$ is the angle between the directed third link and the positive direction of the x axis. Draw circles ω_A and ω_D with centers at points A and D and radii |a| and |c|, respectively. The vector $\overrightarrowC D$ (the third link of the manipulator) forms the known angle γ — thus the point C has coordinates

Draw the circle ω_C centered at C with radius of |b|. The number of common points of the circles ω_A and ω_C is equal to the number of solutions to the problem. The problem has no solutions if a triangle (even if it has angle of 0) with sides |AC|, |a|, |b| does not exist.

Let's find one of the solutions to the problem. Consider triangle ABC (BC is the second link of the manipulator). In it $|A B|=|a|,$ $|B C|=|b|$ and

Knowing the sides of the triangle, we find its angles (using al-Kashi's theorem and law of sines). So,

and

Similarly,

$\varphi_2= Пи минус \angle A B C= Пи минус арккосинус дробь: числитель: a в квадрате плюс b в квадрате минус |A C| в квадрате , знаменатель: 2|a| умножить на |b| конец дроби .$

Finally, $\varphi_3= гамма минус \varphi_1 минус \varphi_2 .$

Ответ: $\varphi_1=\angle B A C плюс арктангенс дробь: числитель: x минус c умножить на косинус гамма , знаменатель: y минус c умножить на синус гамма конец дроби ;$ $\varphi_2= Пи минус арккосинус дробь: числитель: a в квадрате плюс b в квадрате минус |A C| в квадрате , знаменатель: 2|a| умножить на |b| конец дроби ;$ $\varphi_3= гамма минус \varphi_1 минус \varphi_2 .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Описание системы баллов за решение задач

I. Первичная оценка решения каждой задачи выставляется по 5-балльной шкале, где

0 — задача не решена или решена неверно из-за грубых ошибок в рассуждениях;

1 — задача решена неверно, но присутствует плодотворная идея, применимая для решения задачи;

2 — задача решена неверно, но присутствует и частично применена плодотворная идея, достигнут некоторый прогресс в решении;

3 — задача решена частично либо полностью, но с существенными арифметическими ошибками при наличии правильного хода рассуждений;

4 — задача решена верно, но с незначительными ошибками;

5 — задача полностью решена.

II. Для каждой задачи вычисляется средний балл (M) по результатам ее решения всеми участниками.

III. Весовой коэффициент (K) каждой задачи вычисляется по простой формуле:

$K=10 минус 1,8 умножить на M .$

Таким образом, весовой коэффициент задачи может изменяться в пределах от 1 до 10 в зависимости от среднего балла участников за эту задачу.

IV. Балл каждого участника за каждую задачу умножается на весовой коэффициент этой задачи.

V. Баллы, набранные участником, суммируются с округлением до ближайшего целого в большую сторону.

Specification of the score system

I. Pre-score of the solution to each problem is set on a 5-point scale, where

0 — a task was not solved or solved incorrectly due to gross reasoning blunder;

1 — a task was solved incorrectly but there is a fruitful idea that can be used to solve the task;

2 — a task was solved incorrectly but a fruitful idea is present and partially applied, some progress has been made in the solution;

3 — a task was solved partially or completely but with significant arithmetic errors in the presence of the correct line of reasoning;

4 — a task was solved correctly but with minor errors;

5 — a task was solved completely.

II. An average score (M) is calculated based on the results of all participants for each task.

III. The weighting factor (K) of each task is calculated using a simple formula:

$K=10 минус 1,8 умножить на M.$

Thus, the weighting coefficient of a task can vary from 1 to 10 , depending on the average score of the participants for this task.

IV. Each participant's score for each task is multiplied by the weighting factor of that task.

V. The points scored by the participant are summed and rounded up to the nearest integer.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в системах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь