Рас­смот­рим любое квад­рат­ное урав­не­ние с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми и стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том 1, у ко­то­ро­го два по­ло­жи­тель­ных корня, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1. По­дойдёт, на­при­мер, урав­не­ние его корни  — это и За­ме­тим, что сумма и про­из­ве­де­ние этих кор­ней  — целые, а тогда и сумма целая при любом на­ту­раль­ном n (это не­труд­но до­ка­зать по ин­дук­ции или про­сто рас­крыв скоб­ки: сла­га­е­мые с либо вхо­дят в чётной сте­пе­ни, либо вза­им­но уни­что­жа­ют­ся).

Тогда точ­ный квад­рат, и он равен

(так как про­из­ве­де­ние кор­ней равно 1 то есть от­сто­ит на 2 от числа ко­то­рое, в свою оче­редь, есть верх­няя целая часть числа (по­сколь­ку вто­рой ко­рень по­ло­жи­те­лен и мень­ше 1). Но тогда число   — ис­ко­мое.

Ком­мен­та­рий. Не­слож­но ви­деть, что в ка­че­стве t можно взять любое число, яв­ля­ю­ще­е­ся бо́льшим кор­нем мно­го­чле­на вида где n  — на­ту­раль­ное число, не мень­шее 3. Дей­стви­тель­но, как и в ре­ше­нии выше, сумма кор­ней этого мно­го­чле­на ока­зы­ва­ет­ся целой, от­ку­да для сле­ду­ет утвер­жде­ние за­да­чи.

В этом ре­ше­нии мы уви­де­ли, что для взя­тых нами чисел t рас­сто­я­ние от сте­пе­ни до бли­жай­ше­го це­ло­го стре­мит­ся к нулю с ро­стом t. На самом деле, чисел, сте­пе­ни ко­то­рых ста­но­вят­ся всё ближе и ближе к целым чис­лам, боль­ше (но про осталь­ные нель­зя ска­зать, что они под­хо­дят для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи!).

А имен­но, пусть   — при­ве­ден­ный мно­го­член с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, у ко­то­ро­го все корни (в том числе ком­плекс­ные), кроме од­но­го, по мо­ду­лю мень­ше 1. Тогда этот ко­рень ве­ще­ствен­ный, и рас­сто­я­ние от до бли­жай­ше­го це­ло­го числа стре­мит­ся к 0 с ро­стом n. Это сле­ду­ет из того, что сумма n-х сте­пе­ней всех кор­ней мно­го­чле­на це­ло­чис­лен­но вы­ра­жа­ет­ся через его ко­эф­фи­ци­ен­ты, и по­то­му яв­ля­ет­ся целой. А сте­пе­ни всех осталь­ных кор­ней стре­мят­ся к 0  — как раз по­то­му, что они по мо­ду­лю мень­ше 1. Это рас­суж­де­ние можно про­чи­тать в ста­тье А. Его­ро­ва «Числа Пизо» (жур­нал «Квант», но­ме­ра 5 и 6 за 2005 год); см. также про­ект «Дроб­ные части сте­пе­ней» на XII Лет­ней кон­фе­рен­ции Тур­ни­ра го­ро­дов.

Такие числа  — корни при­ведённого мно­го­чле­на с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, у ко­то­ро­го все осталь­ные корни по мо­ду­лю мень­ше 1,  — на­зы­ва­ют­ся чис­ла­ми Пизо или чис­ла­ми Пизо-Ви­джа­я­ра­г­ха­ва­на. Они пред­став­ля­ют ин­те­рес в связи с за­да­ча­ми ди­о­фан­то­вой ап­прок­си­ма­ции и изу­ча­лись в ра­бо­тах Туэ, Харди, Пизо (см., на­при­мер, книгу: Дж. В. С. Кас­селс. Вве­де­ние в тео­рию ди­о­фан­то­вых при­бли­же­ний. М.: ИЛ, 1961. [5, глава VIII]). Свое на­зва­ние эти числа по­лу­чи­ли после пуб­ли­ка­ции Шарля Пизо, ко­то­рый в своей дис­сер­та­ции от­крыл много за­ме­ча­тель­ных свойств этих чисел.

Ответ: