Треугольник ABC равносторонний. На сторонах AB и AC выбрали точки E и F, а на продолжении стороны AB — точку K так, что 
Точка P — середина EF. Докажите, что угол KPC прямой.
(Владимир Расторгуев)
I способ. На продолжении отрезка CP за точку P отметим такую точку T, что 
Тогда FCET — параллелограмм, откуда TE равно и параллельно FC. Но тогда треугольники TEK и KBC равны по первому признаку: тупые углы у них равны 
и соответствующие стороны при этих углах равны. Следовательно, треугольник ТКС равнобедренный и его медиана KP является высотой.
II способ. Построим равносторонний треугольник AKL. Ясно, что PC средняя линия треугольника EFL. Треугольники EKL и CAK равны 
Значит, 
Треугольники EAL и CLK также равны, поэтому 
Следовательно,
(мы использовали, что 
и 
). Но тогда KPC — половина равностороннего треугольника, откуда угол KPC прямой.