РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6797 Добавить в вариант

При каких натуральных n найдутся n последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) n последовательных натуральных чисел?

(Борис Френкин)

Спрятать решение

Решение.

Произведение n последовательных целых чисел делится на n, значит, и равная ей сумма целых чисел делится на n. Поэтому среднее арифметическое этих чисел  — целое число. Значит, n нечётно. Вот пример для

$n=2m плюс 1: левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !−m правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !−m плюс 1 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка ! плюс m правая круглая скобка = левая круглая скобка 2m плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !=n!.$ $n=2m плюс 1: левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !−m правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !−m плюс 1 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка ! плюс m правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 2m плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !=n!.$ $n=$
$=2m плюс 1: левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !−m правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !−m плюс 1 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка левая круглая скобка 2m правая круглая скобка ! плюс m правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 2m плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2m правая круглая скобка !=n!.$

Ответ: при нечётных n.

Турнир городов, 11, 10 класс, Весенний тур, 2021 год

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Помощь