РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6777 Добавить в вариант

В клетчатом деревянном квадрате 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя квадрат как печать, 100 раз приложил его к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и только они) оставляли чёрный отпечаток на бумаге. Мог ли в итоге на листе получиться квадрат 101 · 101, все клетки которого, кроме одной угловой, чёрные?

(Александр Грибалко)

Спрятать решение

Решение.

Покажем, что любой квадрат $левая круглая скобка 2 N плюс 1 правая круглая скобка \times левая круглая скобка 2 N плюс 1 правая круглая скобка$ без угловой клетки можно получить, $2 N$ раз приложив печать из $2 N плюс 2$ клеток. Для пояснения приведём рисунок для $N=4 .$

Квадрат без правого верхнего угла представим как квадрат $2 N \times 2 N$ с двумя приклеенными сверху и справа полосками $1 \times 2 N .$ Разобьём квадрат $2 N \times 2 N$ на четыре квадратика $N \times N .$ Покрасим левый нижний и правый верхний квадратики $N \times N$ и верхнюю полоску в серый цвет. Теперь белая часть получается из серой поворотом на $90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ по часовой стрелке (относительно центра квадрата $2 N \times 2 N правая круглая скобка .$ Левый край каждого серого квадратика $N \times N$ и две клетки серой полоски на тех же вертикалях сделаем тёмными. Это будет первый отпечаток. Сдвинув его вправо на одну клетку, сделаем второй отпечаток, и т. д. Тогда N отпечатков покроют в точности серую область. Развернув печать на $90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , N$ отпечатками покроем белую область.

Замечание. Есть и другие варианты печатей. Например, такой (см. нижний рис.), для простоты рассмотрен случай $N=3.$

Ответ: мог.

Турнир городов, 8, 9 класс, Осенний тур, 2020 год

Классификатор: Олимпиадная геометрия. Раскраски

Спрятать решение · Помощь